Quanto vale a n-ésima potência de uma matriz idempotente?

Question

Uma matriz \(A\), tal que \(A^2=A\), é chamada de matriz idempotente.

Answer 1

Note que se \(n\ge 2\), então \(A^n = A^2 A^{n-2}=A A^{n-2}=A^{n-1}\).

Já que essa conta foi feita para um \(n\) qualquer, então essa conta pode ser feita recursivamente:

\(A^{n} =A^{n-1}\).

\(A^{n-1} =A^{n-2}\).

\(\vdots\)

\(A^{2} =A\).

Logo, \(A^n=A\).

Comments

não entendi o "logo" de A^n = A^(n-1), logo A^n = A. Não me pareceu clara a última passagem.
Grato.

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Veja a edição na resposta!

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Pode concluir que A^(-1) = 1?

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Note que a Matriz nao necessariamente é inversível.

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Professor, somente à título de curiosidade. Esta solução é válida para todo n >= 2 e pertencente aos reais?

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Na verdade, a matriz pode possuir numeros complexos desde que seja idempotente.

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e para numeros racionais, está definida a exponenciação de matrizes para n's nao inteiros?

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Você pode definir esse tipo de potenciação usando a definição de exponencial de uma matriz, que converge se a matriz for inversível.