A resposta é 14.7 lançamentos.
Esse resultado é fácil de se obter utilizando probabilidade. O evento que queremos que aconteça é que o lançamento do dado resulte em uma face que ainda não apareceu. Esse evento segue uma distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso variável.
No primeiro lançamento, a probabilidade p de sucesso é \(1\), já que nenhuma face do dado foi obtida ainda.
A partir do segundo lançamento, a probabilidade p de sucesso é \(5/6\), e essa se mantém até que um novo sucesso ocorra, ou seja, apareça uma face diferente da primeira.
O terceiro momento é quando duas faces diferentes já saíram, e a nova probabilidade p de sucesso é \(4/6\). Esse padrão se mantém até só restar uma única face, e a probabilidade de sucesso ser de \(1/6\).
O número de tentativas necessárias para se obter n sucessos em uma distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p segue uma distribuição binomial negativa. No caso especial de um sucesso, o número de tentativas segue uma distribuição geométrica. A esperança de uma distribuição geométrica \(Geo(p)\) é dada por \(E(Geo(p)) = 1/p\).
Temos no caso 6 distribuições geométricas com 6 probabilidades diferentes. O resultado final é dado por:
\(E(Geo(6/6)) + E(Geo(5/6)) + E(Geo(4/6)) + \)
\( E(Geo(3/6)) + E(Geo(2/6)) + E(Geo(1/6))\)
\( = 1 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 = 14.7\)
Analisando esse resultado, uma fórmula pode ser feita para um dado de n lados:
\(L(n) = n\times\sum_{i = 0}^{n}1/i\)
ou
\(L(n) = n\times H_n\), onde \(H_n\) é o n-ésimo número harmônico.
Resultados notáveis:
Dado de 4 lados: 8.33 Lançamentos
Dado de 10 lados: 29.29 Lançamentos
Dado de 20 lados: 71.95 Lançamentos