Se convergir, para onde converge a série de potências de uma matriz?

Question

Suponha que a serie de matrizes \(S=I+A+A^2 + A^3 + \cdots\) convirja. Mostre que \(S=(I-A)^{-1}\), quando a inversa de \((I-A)\) existir.

Answer 1

Seja \(S=I+A+A^2 + A^3 + \cdots\) e faça \(AS=A + A^2 + A^3 + \cdots\). Finalmente, note que \(S-AS=I\), ou seja, \(S(I-A)=I\), isto é, \(S=(I-A)^{-1}\). De fato, pode-se mostrar que a inversa de \(A\) sempre existe se, e somente se, a série de matrizes \(S\) converge. Entretanto, para estudar formalmente esse ponto, precisamos definir adequadamente convergência num espaço vetorial normado de matrizes.

Comments

Professor, como você concluiu que S-AS=I?

---

Note que o lado direito de ambas equações são quase iguais (a única diferença é o I), pois é uma soma infinita. Logo, eu subtrai a segunda da primeira. Esse é o mesmo método utilizado para estudar soma infinita de progressões geométricas convergentes no ensino médio.