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Quais as principais correntes da Filosofia Matemática? Quais as melhores obras introdutórias sobre o tema?

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perguntada Jun 3, 2015 em Matemática por Pietro Ribeiro (426 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jun 5, 2015 por marcelo_papini (306 pontos)  
selecionada Jun 5, 2015 por Pietro Ribeiro
 
Melhor resposta

São três as correntes mais discutidas na filosofia da Matemática: o logicismo, o intuicionismo e o formalismo (na ordem em que foram explicitamente anunciadas).
O logicismo foi inaugurado por Gottlob Frege, em 1884, nos Grundlagen der Arithmetik [Fundamentos da Aritmética]. (A denominação surgiu posteriormente.) Nessa obra, Frege pretendeu reduzir as noções matemáticas a conceitos lógicos. "Especificamente, ancorado nas noções e nos princípios lógicos, Frege empreendeu a temerária tarefa de definir as primeiras noções aritméticas e de demonstrar as principais proposições".
O intuicionismo parece haver sido suscitado, em parte, para dirimir a emergência de antinomias que se tornaram frequentes, desde a aceitação da teoria dos conjuntos como um domínio legítimo do saber matemático (aceitação essa que pode ser datada de 1897, no primeiro Congresso Internacional dos Matemáticos).
Também causou certo desconforto, naquela época, o recurso ao axioma da escolha (usado por Zermelo na prova de que todo conjunto pode ser bem ordenado). Para se ter uma ideia da atmosfera cultural daquela época, cabe lembrar que, por volta de 1905, na França, se opunham ao axioma da escolha Émile Borel, René Baire e Henri Lebesgue, enquanto Jacques Hadamard o admitia.
O intuicionismo foi fundado, em 1907, por Luitzen Brouwer, na tese Over de Grondslagen der Wiskunde [Dos fundamentos da Matemática] que se opôs frontalmente ao logicismo, pois defendeu que (ao contrário do que diziam os formalistas) a Lógica proviesse da Matemática. (Essa tese, hoje em dia, não parece tão estranha, pois já nos habituamos à construções de lógicas adequadas a domínios específicos do saber, como a lógica da física quântica e a lógica trivalente).
Da perspectiva matemática, um dos pontos mais polêmicos do intuicionismo é a rejeição do axioma da exclusão do terceiro (admitido desde a filosofia escolástica, como tertium non datur). Estamos todos habituados ao fato de que não são preservadas, quando lidamos com conjuntos infinitos, diversas propriedades de conjuntos finitos, as quais são pacificamente aceitas. Um dos exemplos mais elucidativos consiste na invalidade, para conjuntos infinitos, do dito popular “a ordem das parcelas não lhes modifica a soma”. Ora, sabemos que a soma de uma série condicionalmente convergente depende do ordenamento dos seus termos.
Creio que Brouwer tenha argumentado que o axioma da exclusão do terceiro fosse uma extensão não legitimada a conjuntos infinitos de uma propriedade verificada empiricamente em conjuntos finitos. Por isso, Brouwer rejeitou todas as provas indiretas (que repousam no argumento de redução ao absurdo), invalidando grande parte da teoria matemática.
Brouwer defendeu também outras teses (sobre as quais não me pronunciarei, por as considerar mais próximas de outros domínios e um tanto estranhos à Matemática). Alguns autores enxergam a disputa entre os logicistas e os intuicionistas do século XX como uma simples continuação da psicomaquia entre Kronecker, de um lado, e Weierstrass e Dedekind, do outro lado. Não concordo plenamente com essa interpretação, ainda que seja inegável a existência de elementos comuns em ambas as tertúlias. Impende, porém, acentuar-se que Kronecker defendera um construtivismo extremo, na acepção de que a existência de um objeto não pudesse ser inferida apenas de uma contradição. Kronecker exigira que toda prova de existência fosse acompanhada de um procedimento construtivo (como se diz hoje, de um algoritmo). E essa exigência de Kronecker não constitui propriamente uma excentricidade, já que “a maior parte dos matemáticos prefere as provas construtivas de existência, que, muitas vezes, dão informações mais rigorosas sobre os objectos construídos; mas resignam-se a ficar com provas não construtivas, quando não há outras.” [DIEUDONNÉ 1990]
Impende também admitir-se que, se a filosofia de Brouwer foi um pouco nebulosa, sua prática matemática constituiu modelo perene. Ele é correntemente considerado o fundador da topologia algébrica, ramo do saber iniciado por Henri Poincaré em trabalhos sobre a mecânica celeste.
Talvez possamos afirmar que o formalismo nasceu duas vezes.
Seu primeiro nascimento foi na obra Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da geometria), de David Hilbert (1899). Nesse trabalho, Hilbert introduziu um método axiomático distinto do método preconizado por Aristóteles. Com efeito, para o Estagirita, os conceitos primitivos prescindiam de definição (por serem culturalmente percebidos) e as proposições primitivas dispensavam demonstração (por sua validade ser culturalmente admitida). (Não estou certo de estar exprimindo corretamente as opiniões do pensador grego.)
Para Hilbert, os axiomas são apenas postulados (isto é, pedidos), aos quais não se pretende outorgar o atributo da veracidade nem grau algum de plausibilidade. Mas a rede semântica de postulados define implicitamente os conceitos primitivos. Na obra citada, Hilbert, aparentemente, não pretendeu iniciar uma corrente de epistemologia mas tão somente resolver um problema local (o fundamento da geometria, a qual se havia ampliado exorbitantemente nas seis décadas anteriores).
Uma década depois, ocorreu o segundo nascimento do formalismo, quando, perturbado pela crítica de Brouwer (e pela defecção ou pela hesitação de matemáticos eminentes, como Dedekind, que relutou em permitir a reedição de um de seus livros), Hilbert enxergou no novo método axiomático um modo seguro de fundar toda a Matemática. Creio que essa fase ainda não tenha terminado (e que jamais termine pois, como acentuou Brouwer, o método axiomático somente pode ser empregado, quando existe substância matemática por ser axiomatizada). Ao longo das décadas posteriores, auxiliado por Wilhelm Ackermann e Paul Bernays, Hilbert continuou a aprimorar o método axiomático. E, ao longo dessa labuta, a crítica dos discípulos de Brouwer, notadamente de Arend Heyting, concorreu decisivamente para corrigir eventuais equívocos.
Concluindo esse breve resumo, penso que, entre os matemáticos que se voltam para quesitos epistêmicos, prevalece a atitude pragmática de Nicolas Bourbaki que constitui um eco do “segundo Russell”. Para entendermos as aspas nesse qualificativo, lembremo-nos de que Bertrand Russell fora, no início do século XX, o defensor mais acirrado do projeto logicista de Frege e que escrevera, juntamente com Alfred Whitehead, a famosa obra, em três volumes, Principia Mathematica. Mas, em 1924, Russell já havia abandonado o credo, anteriormente partilhado com o Wienerkreis [Círculo de Viena], de que a Matemática se legitimasse a priori. O segundo Russell defendia que a Lógica e a Matemática, assim como as equações de Maxwell da eletrodinâmica, se aceitassem, em virtude da veracidade de suas consequências observadas.
Como introdução ao tema é adequado o livro de Newton Carneiro Affonso DA COSTA: Introdução aos fundamentos da Matemática, da Editora HUCITEC (Livraria Cultura.) Nesse livro se encontam referências bibliográficas.
Mas, como ocorre nos diversos domínios da Filosofia, a compreensão clara de uma discussão exige pelo menos a contextuação do tema vertente. (Assim, por exemplo, somente poderemos entender a origem da obra de Tomás de Aquino, se estivermos minimamente informados acerca das opiniões defendidas pelos filósofos árabes que o precederam e com os quais Aquino dialogou.) Como uma primeira tentativa de se contextuar o problema dos fundamentos da Matemática, pode ser lido o capítulo quarto de CAJUEIRO: Contribuição ao estudo histórico e crítico do pensamento matemático. (Livraria da Física.)

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