Existe uma relação entre as soluções de um sistema linear homogêneo e não homogêneo formados pela mesma matriz?

Question

Seja \(A\) uma matriz de ordem \(n\times n\), \(0_n\) um vetor coluna de ordem \(n\) cujos elementos são nulos e \(b\) um vetor coluna de ordem \(n\). Considere o sistema homogêneo \(Ax=0\). Se esse sistema só possui solução trivial, então isso implica que o sistema \(Ax=b\) possui solução única?

Answer 1

Sim! Se o sistema \(Ax=0\) só possui solução uma única solução (que é a trivial), então podemos concluir automaticamente que \(A\) é inversível. Logo, se \(A\) é inversível, então o sistemas \(Ax=b\) também só possui solução única.