Como provar essa versão do teorema da projeção?

Question

Seja \(l\) uma reta do \(\Re^n\) com equação dada por \(x=td\) onde \(t\in \Re\) e \(d\in \Re^n\). Seja um ponto \(P\) não pertencente a \(l\). Mostre que o valor na linha \(q_\min\) que satisfaz \(||P-q_\min||\le ||P-q|| \) \(\forall q\in l\) é aquele que satisfaz \((P-q_\min)\perp l\).

Answer 1

Suponha por contradição que \((p-q_\min)\cdot y= \delta\ne 0\), \(y\in l\). Suponha também sem perda de generalidade que \(||y||=1\). Note que isso é fácil de conseguir, pois se existe um vetor que isso ocorre, então só precisa-se dividir esse vetor por sua norma.

Defina o vetor \(z=q_\min+\delta y\), \(\delta\) é o escalar acima.

Finalmente,

\(||p-z||^2=||P-q_\min-\delta y||^2\) =\(||P-q_\min||^2-2\delta (P-q_\min)\cdot y+\delta^2||y||^2=||P-q_\min||^2 -\delta^2\). Logo, é uma contradição, pois \(||P-z||\lt||P-q_\min ||\).

Comments

Falta dizer que a igualdade só ocorre quando o ponto pertence a reta. Não é exatamente isso que a pergunta pede, mas pode-se também mostrar que a projeção sempre existe.

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De fato,  a projeção sempre existe, pois a linha reta que passa pela origem é um subespaço fechado do Rn.