Suponha por contradição que \((p-q_\min)\cdot y= \delta\ne 0\), \(y\in l\). Suponha também sem perda de generalidade que \(||y||=1\). Note que isso é fácil de conseguir, pois se existe um vetor que isso ocorre, então só precisa-se dividir esse vetor por sua norma.
Defina o vetor \(z=q_\min+\delta y\), \(\delta\) é o escalar acima.
Finalmente,
\(||p-z||^2=||P-q_\min-\delta y||^2\) =\(||P-q_\min||^2-2\delta (P-q_\min)\cdot y+\delta^2||y||^2=||P-q_\min||^2 -\delta^2\). Logo, é uma contradição, pois \(||P-z||\lt||P-q_\min ||\).