Question

Se o sistema solar fosse reduzido proporcionalmente de forma que a distância entre a terra e o sol fosse 1 m, qual seria a duração de um ano?

Answer 1

A Terceira Lei de Kepler nos dá que:

\( \dfrac{T^2}{D^3} = k \), onde \(T\) é o período de revolução, \(D\) é o semieixo maior da órbita e \(k\) é uma constante.

Para o caso da Terra, temos:

\(\dfrac{365,256363^2}{149598261^3} = 3,9848864 \cdot 10^{-20}\)

Com período em dias e distância em quilômetros. Para a distância de um metro, temos:

\( \dfrac{T^2}{10^{-9}} = 3,9848864 \cdot 10^{-20}\)

\( T^2 = 3,9848864 \cdot 10^{-29}\)
\( T = 6,31259566 \cdot 10^{-15}\)
\(T \approx 5,454083 \cdot 10^{-10} s\)

O ano duraria aproximadamente meio nanosegundo.

Comments

Acho que não é bem assim. O k da terceira lei de Kepler apenas é o mesmo no mesmo sistema planetário.

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A constante da Lei de Kepler depende apenas da massa dos dois corpos envolvidos.

http://csep10.phys.utk.edu/ojta_samples/course1/synthesis/gravitation/masscenter-k3law_tl.html

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Isso mesmo, mas a massa do sol e da terra mudaram fazendo a redução dos tamanhos e  distâncias, então K não é o mesmo.

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É verdade, se a massa for reduzida proporcionalmente, então este fator deve ser levado em consideração. A resposta está certa somente se considerarmos que a massa dos corpos foi preservada (e que eles não se tornaram buracos negros!)

Answer 2

Calculei a solução, usando MSI em todas unidades:

Sabemos que:
raio da terra: 6371000 m
distancia terra sol = 149600000000 m
densidade da terra = 5510 kg/m^3
G = 6,674287 *10^-11 (m^3)(kg^-1)(s^-2)
volume esfera = 4/3 * pi * r^3

Se diminuirmos a distancia da terra ao sol para 1 m,
então as distâncias devem ser divididas por 149600000000

raio da terra = 6371000 / 149600000000 = 4,2586 * 10^-5 (m)
volume da terra = 4/3 * pi * (4,2586 * 10^-5)^3 = 323,34 * 10^-15 = 3,2334 * 10^-13 (m^3)
massa da terra = 3,2334 * 10^-13 (m^3) * 5510 kg/m^3 = 1,781642 * 10^-9 (kg)

Terceira Lei de Kepler desenvolvida

Segundo http://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm
temos :
t^2 = 4pi^2/(G * Mcentral)) * r^3
ou
r^3/t^2 = G * Mcentral /(4pi^2)

foi usada neste site acima uma simplificação de supor orbita circular, que segundo o autor não altera o resultado.

Então:
r^3/t^2 = 6,674287 10^-11 * 1,781642 * 10^-9 /(4pi^2) = 0,30151299 * 10^-20
1/t2 = 0,30151299 * 10^-20
t^2 = 3,316 * 10^20
t = 1,82 * 10^10 s

o ano então seria aproximadamente 18.200.000.000 segundos, ou 577 anos (atuais).