Imaginando numa vista superior um rio horizontal de largura \(l\) que flui da esquerda pra direita, e uma lancha que está na margem inferior e deseja atravessar para a margem superior temos que:
\( W_x = \langle V + v\cdot cos(\theta), 0\rangle\)
\(W_y = \langle 0, v\cdot sen(\theta)\rangle\)
\(W_x, W_y \in \mathbb{R^2}\)
\(V, v, \theta \in \mathbb{R}\)
Onde \(V\) e \(v\) são as velocidades constantes do rio e da lancha em água parada respectivamente, \(\theta\) é o ângulo entre a lancha e a margem do rio e \(W_x\) e \(W_y\) são os componentes X e Y da velocidade \(W\) da lancha no rio.
A velocidade \(W\) da lancha é dada por:
\(W = W_x + W_y = \langle V + v\cdot cos(\theta), v\cdot sen(\theta)\rangle\)
A função posição é dada pela integral da velocidade no tempo:
\(S(t) = \int W \mathrm{d}t = W \cdot t + C\)
\(S(t) = \langle V\cdot t + v\cdot t\cdot cos(\theta), v\cdot t\cdot sen(\theta)\rangle + C\)
Considerando a posição inicial da lancha como origem, temos que \(C\) é nula.
\(S(t) = \langle V\cdot t + v\cdot t\cdot cos(\theta), v\cdot t\cdot sen(\theta)\rangle \)
\(t\), porém, é uma função de \(\theta\):
\(t(\theta) = \dfrac{l}{v\cdot sen(\theta)}\)
O tempo do trajeto é o tempo até a lancha atingir a outra margem, ou seja, a largura do rio dividido pelo componente vertical da velocidade \(W\). Logo temos a posição na qual a lancha atinge a outra margem dado um ângulo de partida \(\theta\):
\(S(\theta) = \langle \dfrac{V \cdot l}{v\cdot sen(\theta)} + \dfrac{ l\cdot cos(\theta)}{ sen(\theta)}, l\rangle\)
O menor percurso possível atingiria a outra margem no ponto \(\langle0, l\rangle\) (uma linha reta perpendicular as margens do rio). Igualando:
\(S(\theta) = \langle \dfrac{V \cdot l}{v\cdot sen(\theta)} + \dfrac{ l\cdot cos(\theta)}{ sen(\theta)}, l\rangle\ = \langle0, l\rangle\)
\( \dfrac{V \cdot l}{v\cdot sen(\theta)} + \dfrac{ l\cdot cos(\theta)}{ sen(\theta)} = 0 \)
\( \dfrac{V}{v} = -cos(\theta)\)
\( arccos(-\dfrac{V}{v}) = \theta \)
Esse resultado tem algumas implicações. Primeiramente, \(sen(\theta)\) deve ser diferente de 0, logo a lancha não deve estar paralela ao movimento do rio. Esse resultado é trivial: se a lancha se mover paralelamente ao rio, ela nunca chegará na outra borda!
A segunda implicação porém é a de que \(v > V\), ou caso contrário não há ângulo que solucione essa equação. Esse resultado também é, de certa forma, intuitivo: A lancha só conseguirá atingir o ponto perpendicular na outra margem se sua velocidade conseguir superar a correnteza do rio na direção contrária.
Se a segunda implicação não for verdadeira, o problema ainda tem solução. O componente y do ponto final sempre será \(l\), logo a minimização do componente x levará à minimização da distância percorrida. Por métodos computacionais, se encontra alguns valores para o ângulo \(\theta\), que empiricamente se verificaram ser \(arccos(-\dfrac{v}{V})\). Não existe solução para quando a velocidade da lancha e da correnteza são iguais.
Resultados computacionais para um rio de largura unitária: 
O resultado empírico desse caso é confirmado pela derivada parcial em \(\theta\):
\(\dfrac{\mathrm{d} S(\theta)}{\mathrm{d}\theta} = \dfrac{V \cdot l \cdot csc(\theta)}{v} + l\cdot cotg(\theta) = 0\)
Resolvendo:
\(\theta = arccos(- \dfrac{v}{V} )\)
O interessante é que a derivada parcial assume que \(V > v\), não fornecendo resposta válida caso isso não ocorra. Para compreender os três casos \( (V > v, V = v, V < v)\), tanto a análise da derivada quando a da reta perpendicular são necessárias.