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Uma lancha pode viajar a velocidade v em água parada. Deseja-se atravessar um rio seguindo a menor distância. Qual direção ele deve seguir sabendo que a velocidade do rio é V?

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perguntada Jun 13, 2015 em Física por estudante (436 pontos)  
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comentou Jun 15, 2015 por Stefano Ivo Finazzo (91 pontos)  
Se as margens do rio forem paralelas (nesse tipo de exercício geralmente são), o negócio é calcular o tempo de trajetória para o barco andando em linha reta numa direção qualquer, de uma margem à outra, depois procurar a direção que minimiza esse tempo.
comentou Jun 15, 2015 por estudante (436 pontos)  
Sim, as margens são paralelas! Boa idéia!

1 Resposta

+3 votos
respondida Jun 15, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  
selecionada Jun 16, 2015 por estudante
 
Melhor resposta

Imaginando numa vista superior um rio horizontal de largura \(l\) que flui da esquerda pra direita, e uma lancha que está na margem inferior e deseja atravessar para a margem superior temos que:

\( W_x = \langle V + v\cdot cos(\theta), 0\rangle\)
\(W_y = \langle 0, v\cdot sen(\theta)\rangle\)
\(W_x, W_y \in \mathbb{R^2}\)
\(V, v, \theta \in \mathbb{R}\)

Onde \(V\) e \(v\) são as velocidades constantes do rio e da lancha em água parada respectivamente, \(\theta\) é o ângulo entre a lancha e a margem do rio e \(W_x\) e \(W_y\) são os componentes X e Y da velocidade \(W\) da lancha no rio.
A velocidade \(W\) da lancha é dada por:

\(W = W_x + W_y = \langle V + v\cdot cos(\theta), v\cdot sen(\theta)\rangle\)

A função posição é dada pela integral da velocidade no tempo:

\(S(t) = \int W \mathrm{d}t = W \cdot t + C\)
\(S(t) = \langle V\cdot t + v\cdot t\cdot cos(\theta), v\cdot t\cdot sen(\theta)\rangle + C\)

Considerando a posição inicial da lancha como origem, temos que \(C\) é nula.

\(S(t) = \langle V\cdot t + v\cdot t\cdot cos(\theta), v\cdot t\cdot sen(\theta)\rangle \)

\(t\), porém, é uma função de \(\theta\):
\(t(\theta) = \dfrac{l}{v\cdot sen(\theta)}\)

O tempo do trajeto é o tempo até a lancha atingir a outra margem, ou seja, a largura do rio dividido pelo componente vertical da velocidade \(W\). Logo temos a posição na qual a lancha atinge a outra margem dado um ângulo de partida \(\theta\):

\(S(\theta) = \langle \dfrac{V \cdot l}{v\cdot sen(\theta)} + \dfrac{ l\cdot cos(\theta)}{ sen(\theta)}, l\rangle\)

O menor percurso possível atingiria a outra margem no ponto \(\langle0, l\rangle\) (uma linha reta perpendicular as margens do rio). Igualando:

\(S(\theta) = \langle \dfrac{V \cdot l}{v\cdot sen(\theta)} + \dfrac{ l\cdot cos(\theta)}{ sen(\theta)}, l\rangle\ = \langle0, l\rangle\)
\( \dfrac{V \cdot l}{v\cdot sen(\theta)} + \dfrac{ l\cdot cos(\theta)}{ sen(\theta)} = 0 \)

\( \dfrac{V}{v} = -cos(\theta)\)
\( arccos(-\dfrac{V}{v}) = \theta \)

Esse resultado tem algumas implicações. Primeiramente, \(sen(\theta)\) deve ser diferente de 0, logo a lancha não deve estar paralela ao movimento do rio. Esse resultado é trivial: se a lancha se mover paralelamente ao rio, ela nunca chegará na outra borda!
A segunda implicação porém é a de que \(v > V\), ou caso contrário não há ângulo que solucione essa equação. Esse resultado também é, de certa forma, intuitivo: A lancha só conseguirá atingir o ponto perpendicular na outra margem se sua velocidade conseguir superar a correnteza do rio na direção contrária.
Se a segunda implicação não for verdadeira, o problema ainda tem solução. O componente y do ponto final sempre será \(l\), logo a minimização do componente x levará à minimização da distância percorrida. Por métodos computacionais, se encontra alguns valores para o ângulo \(\theta\), que empiricamente se verificaram ser \(arccos(-\dfrac{v}{V})\). Não existe solução para quando a velocidade da lancha e da correnteza são iguais.
Resultados computacionais para um rio de largura unitária: A imagem será apresentada aqui.
O resultado empírico desse caso é confirmado pela derivada parcial em \(\theta\):

\(\dfrac{\mathrm{d} S(\theta)}{\mathrm{d}\theta} = \dfrac{V \cdot l \cdot csc(\theta)}{v} + l\cdot cotg(\theta) = 0\)

Resolvendo:

\(\theta = arccos(- \dfrac{v}{V} )\)

O interessante é que a derivada parcial assume que \(V > v\), não fornecendo resposta válida caso isso não ocorra. Para compreender os três casos \( (V > v, V = v, V < v)\), tanto a análise da derivada quando a da reta perpendicular são necessárias.

comentou Jun 15, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  
Se bem que agora estou na dúvida quanto ao resultado se a segunda hipótese não se sustentar.. talvez ainda sim utilizar a força da lancha contra a correnteza pode minimizar a distância. Estou verificando os cálculos...
comentou Jun 15, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  
Verifiquei os cálculos e vi que sim, é possível minimizar a distância indo contra a correnteza mesmo se a força da lancha for inferior a da correnteza. Já editei a resposta.
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