O que é o dx?

Question

Numa aula de microeconomia foi usado a equação de diferencial total para calcularmos a elasticidades de substituição de uma função, etc. Mas o importante é que o 'dx' foi usado como algo sozinho e separado... Sempre pensei que fosse só um símbolo de notação usado com o dy embaixo e sozinho nos símbolos de integral.

E por falar nisso, por que o dx fica 'multiplicando' as funções nas integrais?

Answer 1

Quando você estuda cálculo integral, há o conceito de soma de Riemann.

A integral de Riemann é o limite da soma de riemann \(\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)(x_{i}-x_{i-1})\), \(\quad x_{i-1}\le x_i^* \le x_i\) com \(\Delta X_i \rightarrow 0\), onde \(\Delta X_i =x_{i}-x_{i-1}\).

Esse \(\Delta X_i\) acima se torna o \(dx\) na notação de integral.

Seria o tamanho da base dos retângulos que criam a área abaixo da curva da função.

Comments

E por que a equação do diferencial total multiplica o dx normalmente?

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total?

Bem, você sabe que

dy/dx = f '(x) = y'

Existe uma definição que diz o seguinte:

y' dx = dy

É como se você multiplicasse por dx, mas quando você faz esse processo deve em seguida já integrar:

y' = dy/dx então:

integral y' dx = integral dy

isso em EDOs.

Discuti bastante na época sobre isso e essa é a forma mais correta, nada impede no contextos das EDOs você fazer:


y' dx = dy, tratando o dy/dx como fração, apesar de NÃO SER uma fração

Answer 2

Em 99% dos casos (ou seja, como visto em 99% dos cursos de Cálculo), dx solto (sem estar na notação de derivada dy/dx ou no sinal de integração) é uma gambiarra para resolver problemas. Não é uma gambiarra ruim - na verdade é uma gambiarra fértil, intuitiva e que funciona muito bem. Mas é uma gambiarra e não é rigorosa. Isso se aplica tanto ao diferencial em funções de uma variável como ao diferencial total.

Definições precisas do diferencial (fora do contexto de análise non-standard) podem ser dadas em análise no R^n ou em geometria diferencial. Nessas definições precisas, boa parte das fórmulas usuais para manipulações do diferencial são provadas rigorosamente. Mas nos dois casos, o diferencial não é um número, e sim uma transformação linear.