Em 99% dos casos (ou seja, como visto em 99% dos cursos de Cálculo), dx solto (sem estar na notação de derivada dy/dx ou no sinal de integração) é uma gambiarra para resolver problemas. Não é uma gambiarra ruim - na verdade é uma gambiarra fértil, intuitiva e que funciona muito bem. Mas é uma gambiarra e não é rigorosa. Isso se aplica tanto ao diferencial em funções de uma variável como ao diferencial total.
Definições precisas do diferencial (fora do contexto de análise non-standard) podem ser dadas em análise no R^n ou em geometria diferencial. Nessas definições precisas, boa parte das fórmulas usuais para manipulações do diferencial são provadas rigorosamente. Mas nos dois casos, o diferencial não é um número, e sim uma transformação linear.