Se uma matriz é nilpotente, então ela é singular?

Question

Uma matriz quadrada \(A\) é dita nilpotente, se existe um inteiro positivo \(k\) tal que \(A^k=0\).

Answer 1

Sim. Note que \[det(A^k)=det(0)\Rightarrow det(A)^k=0\Rightarrow det(A)=0.\]

Comments

Professor, k não é o índice de nilpotência que torna o determinante nulo?

Logo det(A^(k-1)) não tem que ser diferente de 0?

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De fato, não. Mas não entendi exatamente o objetivo de sua pergunta.

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Professor, se considerarmos o caso específico em que o índice de nilpotência seja 0 (K=0), podemos concluir que matriz A não é necessariamente singular, uma vez que 0 elevado a zero é indefinido?

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Veja que foi corrigida a definição.

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Professor, na lista a pergunta completa é " Uma matriz A é dita nilpotente, se existe um escalar k tal que A>k = 0. Se A é uma matriz nilpotente, então ela é singular?". Então, por uma matriz nilpotente ter o resultado igual a 0 , posso dizer que é correto afirmar que ela é singular ?

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Sim, é singular.

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Professor, eu poderia afirmar que det(A)=det(A^1-k *A^k)
Daí, faria o determinante desse produto que seria o produto doa determinantes: det(A^1-k) * det( A^K) e como det( A^k) = 0 iria anular o resultado e portanto o det (A) = 0
Estaria certo?

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Não, pois vc não sabe se A tem inversa.