Se uma matriz é anti-simétrica, então seu determinante é nulo?

Question

Uma matriz \(A\) é anti-simétrica se \(A=-A'\).

Answer 1

Depende se a ordem da matriz é par ou ímpar.

Se for ímpar, a resposta é sim, pois \(det(A)=-det(A')\Rightarrow det(A)=-det(A)\). Se for par, nada se pode afirmar.

Comments

A prova desse resultado vem das propriedades:

   Temos:                 A'=-A          
   e sabemos por definição que: det(A)=det(A') e det(-A)=(-1)^n . det(A)

   Juntando tudo temos:

   det(A) = det(A') = det(-A) = (-1)^n . det(A)
   
   se n for impar encontramos: det(A) = -det(A) logo det(a)=0
   se n for par encontramos det(A) = det(A) o que é inconclusivo.

lembrando que n é a ordem da matriz.

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É verdade! Obrigado!