Como calcular esse determinante?

Question

(Prova de vestibular do ITA) Sejam \(A\) e \(C\) matrizes de ordem \(n\) tais que \(det(I+C^{-1}A)=\frac{1}{3}\) e \(det(A)=5\). Sabendo que \(B=3(A^{-1}+C^{-1})^t\) então calcule \(det(B)\).

Answer 1

Note que \(det(B)=det(3(A^{-1}+C^{-1})) \Rightarrow det(B)det(A)=det(BA)\) \(=3^n det(I+C^{-1}A)=3^n \frac{1}{3}=3^{n-1}\). Logo, \(det(B)=3^{n-1}\frac{1}{5}\).

Comments

Professor, você poderia me explicar porque o 3 é elevado a n? Eu poderia aplicar a transposta de forma que ficasse det (AB)^t = 3 det (I+ C^(-1)A)?

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A matrix inteira está multiplicada por 3. Lembre que a propriedade do determinante é: se uma linha está multiplicada por 3, o determinante é multiplicado por 3.  Se a matriz inteira é multiplicada por 3, isto é, n linhas estão multiplicadas por 3,  o determinante fica multiplicado por \(3^n\).

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Professor, a questão fala que \(B=3(A^{-1} + C^{-1})^t\). Onde o \(t\) está representado na solução?

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\(t\) significa transposta. Lembre que \(|A^t|=|A|\).