Considerando a dada função, a função lucro é definida por:
\(\pi(p,w_1,w_2) = max_{x_1,x_2} p [\alpha x_1^\rho + \beta x_2^\rho]^{1/\rho} -w_1x_1 -w_2x_2\)
As condições de primeira ordem são:
(\(x_1\)): \(\alpha px_1^{\rho - 1} [\alpha x_1^\rho + \beta x_2^\rho]^{(1-\rho)/\rho} = w_1\)
(\(x_1\)): \(\beta px_2^{\rho - 1} [\alpha x_1^\rho + \beta x_2^\rho]^{(1-\rho)/\rho} = w_2\)
Desenvolvê-las não apresenta nenhum resultado, não parece possível isolar as demandas incondicionais. As condições de segunda ordem não se sustentam:
\(\alpha \beta p x_2^\rho x_1^{\rho - 2}(\rho - 1)[\alpha x_1^\rho + \beta x_2^\rho]^{(1 - 2\rho)/\rho} < 0\) (Verdadeiro)
\(\alpha \beta p x_1^\rho x_2^{\rho - 2}(\rho - 1)[\alpha x_1^\rho + \beta x_2^\rho]^{(1 - 2\rho)/\rho} < 0\) (Verdadeiro)
\(\alpha^2 \beta^2 p^2 x_1^{2\rho - 2} x_2^{2\rho - 2} (\rho - 1)^2[\alpha x_1^\rho + \beta x_2^\rho]^{(2 - 4\rho)/\rho} >\)
\(\alpha^2 \beta^2 p^2 x_1^{2\rho - 2} x_2^{2\rho - 2} (\rho - 1)^2[\alpha x_1^\rho + \beta x_2^\rho]^{(2 - 4\rho)/\rho}\) (Falso)
Logo a matriz hessiana não é conclusiva. A explicação se evidencia na homogeneidade da função:
\(f(tx_1,tx_2) = [\alpha t^\rho x_1^\rho + \beta t^\rho x_2^\rho]^{1/\rho} = t[\alpha x_1^\rho + \beta x_2^\rho]^{1/\rho} = tf(x_1,x_2)\)
A função de produção é homogênea de grau um, logo possui retornos constantes de escala. Ela pode multiplicar seu lucro infinitamente ao multiplicar sua produção, visto que seus custos crescem linearmente.
Exemplo de tecnologia CES (gráfico de receita menos custo):
Uma leitura mais complexa na função lucro da tecnologia CES pode ser vista aqui.