Como calcular zero elevado a zero?

Question

Como calcular \(0^0\)?

Answer 1

Para calcular uma operação entre dois elementos de um conjunto, você primeiro especifica como a tal função opera entre os dois elementos. A operação potenciação não está definida para \(0^0\).

Comments

Eu estava pensando que talvez seja possível pensar algo como o limite dessa expressão quando ela vai para zero ou outra coisa análoga. Faz sentido?

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Faz sim. Você poderia olhar para a função x^x e ver para onde vai o limite e então definir assim. Alguns livros definem logo essa operação como 1. Isso generaliza algumas fórmulas que envolvem produto vazio e soma vazia. Isso é questão de gosto. O importante é uma vez definida à operação, manter-se fiel a sua definição.

Answer 2

A resposta de Thiago Nascimento está perfeita. Esse resultado é indeterminado, pois é o jargão que matemáticos usam para dizer que um determinado resultado tem mais que um valor.

Seja \(f(x,y)=x^y\). Note que se \(y=0\) temos \(f(x,0)=1,\forall x\ne 0\). Por outro lado, \(x=0\) temos \(f(0,y)=0,\forall y\ne 0\). Os limites laterais dão apoio a ambos resultados.

Podemos, entretanto, encontrar alguns justificativas para o resultado ser 1:

a) Binômio: \((x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k y^{n-k}\). Se \(x=1\) e \(y=-1\), nós chegamos a \((1-1)=1^0=1\).

b) Produto vazio (conforme já citado no comentário do Thiago Nascimento): Resultado da multiplicação de nenhum número que por definição é igual a 1.

Deve haver outros resultados (acho que existe um outro que usa funções analíticas), mas não me recordo agora.