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Como calcular a relação entre esses determinantes?

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perguntada Mar 10, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,696 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Seja \(A\) uma matriz de ordem \(5\times 5\) tal que todos os elementos da
terceira linha dessa matriz valem 3. Seja \(B\) criada a partir de \(A\) somando duas unidades a cada elemento de \(A\). Quanto vale \(\alpha\) tal que \(\det(B)=\alpha*\det(A)\)?

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1 Resposta

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respondida Mar 10, 2015 por danielcajueiro (5,696 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

A idéia é fazer operações elementares em \(B\) do tipo que soma uma linha a um múltiplo da outra linha. Que operação é essa que nos ajuda a encontrar o determinante de \(B\)?

Seja \(\overline{A}\) a matriz encontrada a partir de \(A\) através da operação elementar que substitui a terceira linha de \(A\) por \(3/5\) da terceira linha de \(A\).

Logo, \(\overline{A}\) tem todos os elementos da terceira linha iguais a 1 e \(det(\overline{A})=1/3 det(A)\). Quanto vale o determinante de \(B\)?

Note que o \(det(B)=det(\overline{A})\), pois \(B\) pode ser encontrada a partir de \(A\) com
operações elementares do tipo que substitui uma linha por essa linha menos 2/3 da linha 3 de \(A\).

comentou Set 20, 2015 por Stuart Mill (1,099 pontos)  
editado Set 20, 2015 por Stuart Mill
Nesse caso, alfa=5/3 ?

Seja C uma matriz de ordem n, com os mesmos elementos de A, mas com a terceira linha com todos os elementos igual a 1. Então det(A)=3det(C). Fazendo também det(B)=5det(C). Logo, det(B)=(alfa)det(A) => 5det(c)=(alfa)3det(c) => alfa=5/3
comentou Set 20, 2015 por danielcajueiro (5,696 pontos)  
Sim!! Correto!
comentou Out 7, 2018 por Thales Godoy (1 ponto)  
Professor, não entendi a seguinte parte:

                 Seja A¯¯¯¯ a matriz encontrada a partir de A através da operação elementar que substitui a terceira linha de A por 3/5 da terceira linha de A.

Para que a terceira linha fosse igual a 1, a substituição não deveria ser da terceira linha de A por 1/3 da terceira linha de A?
comentou Out 2 por Rodrigo Plácido (1 ponto)  
Professor, então o raciocínio é este?

Tenho uma matriz A, com os elementos da terceira linha iguais a 3. Desse modo, eu posso encontrar uma matriz C multiplicando os elementos da terceira linha de A por 1/3. Sendo assim, de acordo com a propriedade, det(C) = 1/3 det(A).

Agora, como foi somado o número 2 a todos os elementos da matriz A, formando a matriz B, eu preciso encontrar uma maneira de subtrair 2 dos elementos das outras linhas de B, para conseguir encontrar o alfa correspondente. Ou seja, subtrair das outras linhas da matriz B 2/5 de sua terceira linha. Pois 2/5 x 5 = 2.

Assim sendo, após a operação, todos os elementos da matriz B, exceto os da linha 3, serão iguais aos elementos da matriz C. Como a terceira linha da matriz C é igual a 1/5 da terceira linha da matriz B, o  det(C) = 1/5 det(B). E, como o det(C) = 1/3 det(A), det(B) = 5/3 det(A). O alfa correspondente é 5/3.

Se o raciocínio estiver correto, esse trecho me parece estranho:

"Seja A¯¯¯¯ a matriz encontrada a partir de A através da operação elementar que substitui a terceira linha de A por 3/5 da terceira linha de A."
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