A elasticidade de substituição mede o quão propensa a firma está a alterar a proporção entre os insumos, dada uma variação percentual na razão entre o produto marginal dos insumos. Matematicamente, temos:
\(\sigma = \dfrac{\partial ln(x_1/x_2)}{\partial ln(PM_2 / PM_1 )}\)
Primeiro, vamos obter o produto marginal dessa função de tecnologia:
\(PM_1 = \dfrac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} = \alpha x_1^{\rho - 1}[\alpha x_1^\rho +\beta x_2^\rho]^{1/\rho \, - 1}\)
\(PM_2 = \dfrac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2} = \beta x_2^{\rho - 1}[\alpha x_1^\rho +\beta x_2^\rho]^{1/\rho \, - 1}\)
A razão entre os produtos marginais é:
\(\dfrac{PM_2}{PM_1} = \dfrac{\beta x_2^{\rho - 1}}{\alpha x_1^{\rho-1}}\)
Tirando o logarítmo dessa razão, temos:
\(ln(\dfrac{PM_2}{PM_1}) = (\rho - 1)ln(\dfrac{\beta}{\alpha} \cdot \dfrac{x_2}{x_1}) = (\rho - 1)ln(\dfrac{\beta}{\alpha}) + (\rho - 1)ln(\dfrac{x_2}{x_1})\)
A derivada desse logarítmo é:
\(\partial ln(\dfrac{PM_2}{PM_1}) = \partial (\rho - 1)ln(\dfrac{\beta}{\alpha}) + \partial (\rho - 1)ln(\dfrac{x_2}{x_1}) =\)
\(0 + (\rho - 1) \partial ln(\dfrac{x_2}{x_1}) = (\rho - 1) \partial ln(\dfrac{x_2}{x_1})\)
Como \(ln(\dfrac{x_1}{x_2}) = -ln(\dfrac{x_2}{x_1})\), temos que a elasticidade de substituição vale:
\(\sigma = \dfrac{-\partial ln(\dfrac{x_2}{x_1})}{(\rho - 1) \partial ln(\dfrac{x_2}{x_1})} = \dfrac{-1}{\rho - 1} = \dfrac{1}{1-\rho}\)