Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Por que o sistema usual de números reais não inclui o infinito?

+2 votos
228 visitas
perguntada Jul 6, 2015 em Matemática por professor (326 pontos)  
Compartilhe
comentou Jul 19, 2015 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Talvez valha a pena considerar as colocações dessa questão auxiliar: http://prorum.com/index.php/1443/o-que-e-infinito

1 Resposta

+3 votos
respondida Jul 7, 2015 por marcelo_papini (306 pontos)  
selecionada Jul 8, 2015 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

Comecemos por uma tentativa de contextuar a pergunta, conceituando os objetos que nela figuram e clarificando o que seja o corpo dos números reais. Para isso, adotaremos a perspectiva genética. (A perspectiva genética não se confunde com a perspectiva histórica. A narrativa histórica pretende concatenar fatos históricos. A narrativa genética não respeita a autenticidade histórica e constrói uma sequência adequada de passos que culminam no objeto que se pretende descrever. Em outros termos, o método genético privilegia uma reconstrução racional da história.)

Podemos imaginar que, nas culturas humanas primitivas, tenha surgido, inicialmente, a necessidade de se descreverem conjuntos discretos de objetos da mesma natureza (como um rebanho de ovelhas) e a necessidade de se operarem com tais conjuntos, suscitando perguntas do tipo: “Qual o cardinal da reunião disjunta de dois rebanhos de ovelhas?” Quesitos desse tipo conduziram à concepção do sistema dos números naturais.

Mas a decomposição de certas unidades de medida (como um almude de água) exigiu o recurso a unidades de medida mais refinadas: as frações. E cedo se impôs a necessidade de se compararem frações (como 3/7 e 4/9) e de se somarem frações, o que se pôde fazer concomitantemente com a percepção de um novo fenômeno: Frações distintas podem representar a mesma grandeza, como 1/3 + 1/6 e 1/5 + 3/10. Essa percepção (conjugada à definição do produto de frações) permitiu que se definisse o corpo dos números racionais, como um sistema ordenado de números nos quais fossem resolúveis todas as equações lineares (equações do tipo \(Ax + B = 0\), com \(A\) inversível).

Mas depois (talvez já na antiga cultura egipcíaca, responsável pela edificação das portentosas pirâmides) se percebeu a insuficiência do corpo dos números racionais, pela contemplação de grandezas que não se pudessem representar mediante tais números. É um dado histórico que esse fato já estivesse disseminado na cultura grega no século IV a. C., pois Aristóteles de Estagiros (denominado o Estagirita), em um de seus escritos, para exemplificar o raciocínio denominado argumento por contradição (ou por redução ao absurdo), recorreu à prova de que a medida da diagonal de um quadrado fosse incomensurável com a medida de seu lado. É claro que não foi a raiz quadrade de dois o único número irracional estudado na cultura grega clássica. Dentre os vários números irracionais então conhecidos, avultou o número de ouro ou, melhor, a razão de ouro, que descreve a decomposição de um segmento de comprimento L em duas partes (x e L-x) tais, que x/L = (L-x)/x.

Poderíamos também invocar o fato histórico de que as antigas culturas também lidassem com o número \(\pi\), que tampouco é racional mas essa citação seria um anacronismo, pois somente no século XVIII foi provada a irracionalidade de \(\pi\), por Johann Heinrich Lambert (1768).

Mas, ao longo dos séculos, surgiram diversos outros números irracionais, muitas vezes através da resolução de equações algébricas; E, já na primeira metade do século XVI, Scipione del Ferro, Nicolò Tartaglia e Giròlamo Cardano operavam com números complexos, que seriam sistematizados por Rafael Bombelli. O historiador Michael J. Crowe informou que os números complexos receberam diversos qualificativos pejorativos, como ‘sofísticos’, ‘disparatados’, ‘inexplicáveis’, ‘imaginários’, ‘incompreensíveis’ e ‘impossíveis’ mas foram, nada obstante, acolhidos na prática matemática, antes de receberem uma definição satisfatória.

Mas não somente as equações foram responsáveis pelas sucessivas amplificações do sistema dos números naturais. Havia o quesito premente da convergência das sequências (e das séries). Baseado em um argumento atribuído a Nicole d’Oresme (século XIV), Gottfried von Leibniz instituiu um critério de convergência de séries alternadas. Outros critérios de convergência foram propostos por Colin Mac Laurin e por Jean d’Alembert. Tais critérios permitem decidir se uma série é convergente, ainda que se ignore o seu limite. Bernard Bolzano (1817) e Augustin-Louis Cauchy (1921) conceberam um critério muito intuitivo de convergência de sequências. Convenceram-se eles de que, se os termos de uma sequência se aglomeram, eles se aglomeram em torno de um ponto e é, portanto, convergente a esse ponto. Em linguagem precisa, uma sequência (\(u_n\)) é regular, se, dado \(r \gt 0\), existir um índice \(m\) tal, que se os índices \(h\) e \(k\) atenderem à condição \(\min \{h, k\} \gt m\), então \(|u_h - u_k| \lt r\). (Tais sequências também foram denominadas fundamentais e são, habitualmente, denominadas sequências de Cauchy.) Cauchy postulou que as sequências regulares de termos reais fossem convergentes, distinguindo o sistema dos números reais do corpo dos números racionais.

O critério de Cauchy inaugurou uma atitude mais crítica no que tange à demonstração de diversas propriedades que envolvem números reais, desde a convergência das séries às soluções de equações diferenciais. Desde então, se aceitou claramente que, sempre que se afirmasse a existência de um número real que atendesse a certas propriedades, tal existência deveria ser provada, mediante os postulados que caracterizam o sistema dos números reais. Mais precisamente, hoje se define (axiomaticamente) o sistema dos números reais como um corpo ordenado arquimediano e completo, entendendo-se por completo um corpo no qual são convergentes todas as sequências de Cauchy e arquimediano um corpo ordenado no qual vigore o axioma de Arquimedes: Dados \(b\) e \(r\), \(r \gt 0\) e \(b \gt r\), existe um múltiplo de \(r\) que majora \(b\). (Uma exposição lúcida desse tema encontra-se em E. L. LIMA, Curso de Análise.)

É claro que se pode colocar a seguinte objeção: Como se podem certificar a existência e a unicidade de tal corpo arquimediano e completo? Para provar a unicidade do conceito, mostra-se que são isomorfos dois quaisquer corpos que gozem das propriedades descritas. (Nesse caso, o isomorfismo é uma bijeção que preserve a ordem, a adição e a multiplicação.)

Quanto à existência do conceito, há duas atitudes. Uma delas (habitualmente associada a David Hilbert) defende que a existência seja uma decorrência da consistência (isto é, da não contradição). A outra atitude (habitualmente associada a Leopold Kronecker) exige que o conceito seja construído. Nesse caso, é suficiente considerarmos no domínio SC das sequências de Cauchy o subdomínio SZ integrado pela sequências que convergem a zero (que são denominadas sequências nulas). O quociente SC/SZ é conjunto dos números reais que, devidamente ordenado e algebrizado, se converte no corpo R dos números reais.

Feita essa contextuação (não tão breve mas extremamente simplificada), posso oferecer duas respostas simples à pergunta proposta (talvez desapontando o consulente).

Primeira resposta: Nas sucessivas ampliações dos sistemas numéricos (todas cometidas com uma finalidade precípua), não houve necessidade de considerarmos ‘o infinito’. Assim, ‘o infinito’ não foi incorporado ao sistema dos números reais, por não lhe ser necessário.

Segunda resposta: A própria pergunta está mal formulada, pois não explicita o que se deva entender por ‘o infinito’? Se a locução ‘o infinito’ designa um número maior que todas as outros, então sua inclusão no corpo dos números reais seria incompatível com o axioma de Arquimedes.

...