Como calcular a base de um subespaço vetorial de matrizes quadradas que satisfazem uma solução de um sistema linear?

Question

Considere o de todas as matrizes de ordem 2 que satisfazem o sistema \(AX=0\) para
\[X=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array}\right).\] Verifique se esse conjunto é um subespaço vetorial. Em caso positivo, calcule uma base para esse subespaço.

Answer 1

É um subespaço vetorial, pois se \(AX=0\) e \(BX=0\) então \[(\alpha A+ B)X= \alpha AX + BX = 0 + 0=0\].

Por outro lado, seja \[A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right].\]

Logo, temos que \(a,b,c,d\) devem satisfazer \[a+2b=0\] \[c+2d=0\]
Ou seja, \(a=-2b\) e \(c=-2d\). Portanto, toda matriz do espaço de matrizes \(2\times 2\) que satisfaz \(AX=0\) pode ser escrita como a soma
\[\alpha\left[\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right] + \beta\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -2 & 1 \\ \end{array}\right]\]
para todos \(\alpha\) e \(\beta\) reais. Logo, uma base para esse subespaço é formada pelos vetores
\[\left[\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -2 & 1 \\ \end{array}\right].\]

Comments

Professor,

Não entendi o pq do sistema ser

a+2b=0
c+2d=0

e não simplesmente

a+b = 0
c + d = 0

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Olhe o vetor X do problema.

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Professor, ao analisar a resolução desse exercício me deparei com algumas dúvidas:

1)Ao definir a base do subespaço você encontrou dois vetores, entretanto a definição de vetor é dada como uma lista de "n" escalares denotadas em forma de coluna, o que neste exercício seria duas colunas de 2 escalares. Então, por que a base do subespaço encontrado é na forma de 2 matrizes 2x2 ?

2)Além disso, por que foi definir BX=0 se podemos encontrar em AX=0 um sistema de ordem 2 que já pode representar o bubespaço vetorial?
Obrigado.

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Resolvemos essa questao em sala. De qualquer forma, note que estou interessado em elementos do subconjunto de matrizes 2X2 (veja o enunciado). Resolver o sistema linear é uma forma de encontrar essas matrizes, mas tudo veio do interesse nesse conjunto de matrizes.