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Como calcular a base de um subespaço vetorial de matrizes quadradas que satisfazem uma solução de um sistema linear?

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perguntada Mar 11, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,641 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Considere o de todas as matrizes de ordem 2 que satisfazem o sistema \(AX=0\) para
\[X=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array}\right).\] Verifique se esse conjunto é um subespaço vetorial. Em caso positivo, calcule uma base para esse subespaço.

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1 Resposta

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respondida Mar 11, 2015 por danielcajueiro (5,641 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

É um subespaço vetorial, pois se \(AX=0\) e \(BX=0\) então \[(\alpha A+ B)X= \alpha AX + BX = 0 + 0=0\].

Por outro lado, seja \[A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right].\]

Logo, temos que \(a,b,c,d\) devem satisfazer \[a+2b=0\] \[c+2d=0\]
Ou seja, \(a=-2b\) e \(c=-2d\). Portanto, toda matriz do espaço de matrizes \(2\times 2\) que satisfaz \(AX=0\) pode ser escrita como a soma
\[\alpha\left[\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right] + \beta\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -2 & 1 \\ \end{array}\right]\]
para todos \(\alpha\) e \(\beta\) reais. Logo, uma base para esse subespaço é formada pelos vetores
\[\left[\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -2 & 1 \\ \end{array}\right].\]

comentou Set 25, 2017 por João Vitor Borges (1 ponto)  
Professor,

Não entendi o pq do sistema ser

a+2b=0
c+2d=0

e não simplesmente

a+b = 0
c + d = 0
comentou Set 25, 2017 por danielcajueiro (5,641 pontos)  
Olhe o vetor X do problema.
comentou Out 1, 2018 por Giovanni Cavalcanti (1 ponto)  
Professor, ao analisar a resolução desse exercício me deparei com algumas dúvidas:

1)Ao definir a base do subespaço você encontrou dois vetores, entretanto a definição de vetor é dada como uma lista de "n" escalares denotadas em forma de coluna, o que neste exercício seria duas colunas de 2 escalares. Então, por que a base do subespaço encontrado é na forma de 2 matrizes 2x2 ?

2)Além disso, por que foi definir BX=0 se podemos encontrar em AX=0 um sistema de ordem 2 que já pode representar o bubespaço vetorial?
Obrigado.
comentou Out 2, 2018 por danielcajueiro (5,641 pontos)  
Resolvemos essa questao em sala. De qualquer forma, note que estou interessado em elementos do subconjunto de matrizes 2X2 (veja o enunciado). Resolver o sistema linear é uma forma de encontrar essas matrizes, mas tudo veio do interesse nesse conjunto de matrizes.
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