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O que é infinito?

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perguntada Jul 19, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,776 pontos)  
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respondida Jul 19, 2015 por danielcajueiro (5,776 pontos)  

Formalmente, infinito não é um "número" no sistema matemático que estamos acostumados, mas pode ser um elemento de um conjunto.

Como o termo Infinito é comumente usado em matemática?:

O termo "infinito" em matemática aparece em muitas situações e mais usualmente para definir o tamanho de conjuntos. Por exemplo, é usual dizer que o conjunto dos números naturais ou números reais possui um número infinito de elementos. Quando estudamos enumerabilidade de conjuntos dividimos os conjuntos em dois tipos de conjuntos: (1) Finitos que são obviamente enumeráveis e (2) Infinitos que podem ser enumeráveis ou não.

O que é o Infinito na reta real estendida? (Por que alguém desejaria trabalhar com a reta real estendida?)

Na reta real estendida \(\overline{\Re}=[-\infty,+\infty]\), o elemento "infinito" é aquele que satisfaz as seguinte convenções para todo \(x\in \overline{\Re}\):

\[ \begin{align} x + \infty = +\infty + x & = +\infty, & \forall x & \neq -\infty \\ x - \infty = -\infty + x & = -\infty, & \forall x & \neq +\infty \\ x \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot x & = \pm\infty, & \forall x & \in (0, +\infty] \\ x \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot x & = \mp\infty, & \forall x & \in [-\infty, 0) \\ \frac{x}{\pm\infty} & = 0, & \forall x & \in {\Re} \\ \frac{\pm\infty}{x} & = \pm\infty, & \forall x & \in (0, +\infty) \\ \frac{\pm\infty}{x} & = \mp\infty, & \forall x & \in (-\infty, 0) \end{align} \]

Em algumas situações ainda assume-se a convenção que \(0 \times \pm \infty=0\). Por exemplo, quando definimos a integral de Lebesgue.

É válido mencionar que essas convenções são muito usadas em cursos de Teoria da Medida e Integração.

Se eu quiser explicar o conceito de infinito de forma intuitiva para uma criança, como faria?

Eu tentaria fazê-la pensar em um "número" que é maior que todos os outros.

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