A intersecção de dois subespaços vetoriais é um subespaço vetorial?

Question

Seja \(V\) um espaço vetorial e sejam \(W\) e \(U\) subespaços de \(V\). Então \(W\cap
U\) também é um subespaço vetorial de \(V\)?

Fonte: Halmos

Answer 1

Sim. Note que se \(u,v\in W\cap\ U\) então \(u,v\in W\) e \(u,v\in U\). Portanto, uma vez que \(U\) é um subespaço vetorial, então toda combinação linear \(\alpha u + v\in U\). O mesmo ocorre em \(W\), pois ele também é um subespaço vetorial. Logo, \(\alpha u + v\in U\cap W\) e, portanto, \(U\cap W\) é um subespaço vetorial.

Comments

posso dizer então que no mínimo a interseção entre W e U é o subespaço trivial nulo?

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Sim, mas não necessariamente é o subespaço nulo.