Variáveis aleatórias são funções que associam elementos de um espaço amostral a um valor.
Por exemplo, uma variável aleatória uniforme associa todo valor do espaço amostral de forma igualitária.
Então se tivermos 20 bolas numeradas de 1 a 20 numa cesta, a probabilidade de tirar qualquer uma delas é 1/20.
Em notação matemática:
P(X = i ) = 1/20, i ={1,2,3,4...,20}
Variáveis aleatórias tem uma infinidade de aplicações. Qualquer coisa que envolva probabilidade e que de alguma forma se conheça a distribuição de probabilidade de evento tem uma variável aleatória associada.
Na minha área, comunicações, utilizamos variável aleatória gaussiana pra representar um ruído de comunicação (Ruído Gaussiano Branco, existem outros tipos de ruído também) e assim saber se a decodificação de um sinal digital terá sucesso.