A união de dois subespaços vetoriais é um subespaço vetorial?

Question

Seja \(V\) um espaço vetorial e sejam \(W\) e \(U\) subespaços de \(V\). Então \(W\cup
U\) também é um subespaço vetorial de \(V\)?

Fonte: Halmos

Answer 1

Não, nem sempre. Por exemplo, considere que \(V=\mathbb{R}^2\), \(W=\alpha(1,0)\) para todo \(\alpha\in \mathbb{R}\) e \(U=\beta(0,1)\) para todo \(\beta\in \mathbb{R}\). A união \(W\cup U\) não possui os vetores do tipo \((\alpha,\beta)\) para todos \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\). Logo, \(W\cup U\) não é um subespaço vetorial.

Comments

Não entendi a resolução. O que são vetores do tipo α,β?

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Por exemplo, o vetor \(\alpha,\beta)=(3,4)\) por exemplo não está na união de W e U conforme explicitado acima. Note que (3,0) e (0,4) estão na união, mas não (3,0) + (0,4) = (3,4).

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Obrigado, professor!

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W ∪ U será subespaço vetorial se, e somente se, W estiver contido em U ou U contido em W.