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O que é a distribuição binomial?

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perguntada Ago 1, 2015 em Estatística por danielcajueiro (5,566 pontos)  
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respondida Ago 1, 2015 por danielcajueiro (5,566 pontos)  

A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta com parâmetros \(n\) e \(p\) que modela o número de sucessos \(k\) de uma sequência de experimentos independentes que possuem apenas dois valores "Sucesso" e "Insucesso".

Se os eventos são independentes e a ordem não é importante a probabilidade de se conseguir \(k\) sucessos é dada por

\[f(k;n,p) = \Pr(X = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\]

onde \(k=1,\cdots,n\) e \({n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Considere por exemplo que você esteja interessado em um experimento relacionado a 10 lançamentos de uma moeda não viesada. A distribuição binomial é apresentada na figura abaixo. Note que ela é simétrica em torno do ponto 5 que é justamente a situação em que 5 lançamentos são "cara" e 5 lançamentos são "coroa".

A imagem será apresentada aqui.

Considere agora a situação em que a moeda é viesada e veja que a distribuição é assimétrica, como mostra a figura abaixo:

A imagem será apresentada aqui.

De fato, dependendo do viés, a probabilidade de sair apenas cara ou coroa aumenta muito. Para gerar esses gráficos utilizei o seguinte código:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import binom

plt.hold(True)


def createBinomialDistribution(n,p):
    binomial=np.empty([n+1,2])
    for k in range(n+1):
        binomial[k,0]=k
        binomial[k,1]=binom.pmf(k, n, p)
    return binomial    

if __name__ == '__main__':    
    n=10
    p=0.7
    binomialDistribution=createBinomialDistribution(n,p)
    plt.plot(binomialDistribution[:,0],binomialDistribution[:,1],'ob-') 

Uma característica particularmente interessante da distribuição binomial simétrica é que ela converge para a distribuição normal com média \(np\) e variância \(np(1-p)\) quando \(n\rightarrow \infty\). Por que não alterar o código acima para verificar isso computacionalmente.

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