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Alguém pode me explicar intuitivamente o que é um estimador e quais são suas características desejáveis?

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perguntada Ago 8, 2015 em Estatística por danielcajueiro (5,376 pontos)  
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respondida Ago 8, 2015 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Um estimador aparece no contexto de Inferência Estatística que é a área da estatística que está interessada em deduzir propriedades de populações de indivíduos tomando como base uma amostra dessa população, que é um subconjunto dessa população. Um dos problemas clássicos nessa área, conhecido como o problema de estimação paramétrica, é o problema de estimar um parâmetro associado a uma relação estatística que pode ser útil para representar dados reais.

Um estimador é justamente uma regra para calcular um valor para esse parâmetro de interesse. Formalmente, é uma função \(T: \Re^n\rightarrow\Re\) definida em uma amostra de tamanho \(n\). Normalmente, associado a um estimador, podemos definir uma estimativa, que usualmente é representada \(\hat T=T(x_1,\cdots,x_n)\) que é o valor do estimador quando aplicado a uma amostra, isto é, uma realização.

Considere um problema real em finanças que é associar o retorno de um ativo ao seu risco. Em geral, pode-se supor que o retorno de um ativo cresce com o seu risco. Note que intuitivamente isso faz sentido, pois em "equilíbrio" e em geral (investidores avessos ao riscos), nenhum investidor vai aceitar comprar um ativo mais arriscado com retorno menor ou igual ao retorno de outro ativo com menos risco.

Obviamente essa é apenas uma idéia que pode refletir os dados ou não. Para checar se isso é verdade, normalmente coletamos dados do mercado financeiro, formulamos um modelo que apresente essa características, estimamos esse modelo e verificamos se esse modelo representa bem os dados reais. Esses são os passos reais de uma análise empírica.

Um modelo comumente estimado em finanças é \(r_t = \alpha + \beta rm_t\), onde \(r_t\) é a série temporal da diferença entre retorno de um ativo e o ativo livre de risco e \(rm_t\) é a série temporal da diferença entre o retorno de mercado e o ativo livre de risco. Normalmente, estamos interessados no \(\beta\) que é uma medida de risco. Se você não tem interesse em finanças, você não precisa se importar com essas definições - apenas encare a matriz \([r_t,rm_t]\) como a matriz de dados e o \(\beta\), a inclinação da reta, como uma variável de interesse que precisa ser estimada.

Note que nosso problema aqui não precisa abordar todas as etapas de uma análise empírica, pois estamos interessados apenas em entender um pouco mais sobre estimadores. De fato, fica muito mais fácil entender sobre estimadores se tivermos total controle sobre os dados. Dessa forma, vamos supor que os dados populacionais foram gerados através de uma simulação Monte-Carlo usando a seguinte equação:

\[r_t=0.5 + 1.1 rm_t +u_t,\]

onde \(rm_t\) tem distribuição normal com média 0.5 e variância 0.25 e \(u_t\) tem distribuição normal com média 0 e variância 0.01. Veja na figura abaixo uma amostra dessa variável plotada num gráfico \(r_m \times r\).

A imagem será apresentada aqui.

Para continuar a nossa discussão vamos considerar que um dos estimadores que desejamos usar para estimar o modelo de finanças acima é o estimador de mínimos quadrados. O estimador de mínimos quadrados é aquele que busca estimativas \(\hat \alpha_{MQ}\) e \(\hat \beta_{MQ}\) minimizando a soma dos quadrados dos erros. Se você ainda não entende bem o estimador de mínimos quadrados, dê uma olhada aqui.

Vamos assumir que estamos interessados no estimador de \(\beta\). Em cada um dos paineis abaixo, apresentamos os histogramas de 100 estimativas de \(\beta\) para tamanhos de amostras variados. O código usado para fazer essa figura está aqui.

A imagem será apresentada aqui.

O que é um estimador não viesado?

Essa é uma das características desejáveis de um estimador. Um estimador é dito ser não-viesado se na média ele estima exatamente o valor do parâmetro verdadeiro. A definição formal é \(E[\hat \beta_{MQO}]=\beta\). Pode-se mostrar que o estimador de mínimos quadrados é não-viesado. Para detalhes veja por exemplo essa referência ou Casela and Berger - Statistical Inference. Em qualquer um dos paineis acima (independente do valor de \(n\)), você pode perceber a estimativa de \(\beta\) está em torno do valor verdadeiro \(\beta=1.1\).

O que é um estimador consistente?

Essa é outra característica desejável de um estimador. Um estimador é consistente se as estimativas produzidas por ele convergem para o valor do parâmetro quando o tamanho da amostra aumenta. Note que o estimador de Mínimos Quadrados é consistente, isto é, (formalmente ) \(\lim_{n\rightarrow \infty} P(|\hat \beta_{MQ_n} -\beta|<\epsilon)=1,\forall \epsilon>0\). Empiricamente você pode comparar os paineis acima e perceber que quando o tamanho da amostra \(n\) cresce, todas as estimativas de \(\beta\) convergem para um valor mais próximo do valor verdadeiro de \(\beta\). Note que nem todo estimador não viesado é consistente. Veja aqui.

O que é um estimador eficiente?

A idéia de eficiência de um estimador está relacionada com a idéia de estimar um parâmetro da melhor maneira possível. No contexto do problema que estamos trabalhando, um estimador é eficiente se ele é não viesado e ele possui variância mínima. Pode-se mostrar que o estimador de mínimos quadrados do modelo financeiro apresentado acima é eficiente. Um exemplo de um estimador não eficiente está aqui.

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