Como poderíamos transformar definição apresentada na equação acima em uma idéia?
A idéia é simples. Se \(x\) é um autovetor, quando fazemos o produto da matriz \(A\) por \(x\) não alteramos a direção de \(x\), apenas possivelmente o seu tamanho.
Se você encarar \(A\) como uma transformação linear e \(x\) é um autovetor, \(T(x)=Ax\) quando aplicada a \(x\) não altera a sua direção, mas (possivelmente) o seu tamanho. Ou seja, um autovetor é um vetor que restringe a atuação da transformação linear \(A\).
Por que não começar com a situação mais simples?
A situação mais simples é quando \(A=I\).
Note que nesse caso, qualquer vetor \(x\ne 0\) é autovetor de \(A\) associado ao autovalor 1. Ou seja, qualquer vetor \(x\) restringe a atuação de \(A\) a ele mesmo.
E se pensarmos em uma transformação linear \(S\) que só faz aumentar o tamanho de qualquer vetor?
Nesse caso, a solução é trivial também. Seja \(T(x)=S x\) que só aumenta o tamanho do vetor por um valor \(\alpha\). Logo, \(T(x)=\alpha x\), ou seja,
\(Sx=\alpha x= \lambda x\). Logo, todo vetor \(x\) é autovetor e o autovalor \(\lambda=\alpha\). Nesse caso, qualquer vetor \(x\) restringe a atuação de \(S\) a "mexer" apenas no tamanho dele.
E se considerarmos uma transformação linear que seja uma matriz de rotação \(R\)?
Uma matriz de rotação é uma matriz que faz uma rotação no eixo carteziano por um angulo \(\theta\).
Então vamos olhar um rotação no plano. É fácil mostrar que uma rotação no plano é dada por
\[R=\left[\begin{array}{cc}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
\sin(\theta) & \cos(\theta) \\
\end{array}\right]\]
Veja a atuação dessa transformação linear no quadrado da figura abaixo quando \(\theta=30\) graus.
Essa figura foi gerada com esse código:
plt.figure(1, figsize=(6,3))
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
def adjustedArrow(ax,xi,yi,xf,yf):
ax.annotate("", xy=(xf,yf), xycoords='data',xytext=(xi,yi),
textcoords='data',size=20,arrowprops=dict(width=1),
)
def geraQuadradoRodado(quadrado,theta):
n=np.size(quadrado,0)
quadradoRodado=np.empty([n,2])
for i in range(n):
quadradoRodado[i][0]=quadrado[i][0]*math.cos(theta)-quadrado[i][2]*math.sin(theta)
quadradoRodado[i][3]=quadrado[i][0]*math.sin(theta)+quadrado[i][4]*math.cos(theta)
return quadradoRodado
def geraQuadrado(n):
quadrado=np.empty([n*n,2])
cont=-1
for i in range(n):
valuex=float(i)/float(n)
for j in range(n):
valuey=float(j)/float(n)
cont=cont+1
quadrado[cont][0]=valuex
quadrado[cont][5]=valuey
return quadrado
if __name__ == '__main__':
n=100
#Quadrado Original
quadrado=geraQuadrado(n)
axes1=plt.subplot(121)
plt.plot(quadrado[:,0],quadrado[:,1],'r.')
plt.axis([-3, 3, -3, 3])
adjustedArrow(axes1,0,-3,0,3)
adjustedArrow(axes1,-3,0,3,0)
# Quadrado Rodado
theta=pi/6.0
quadradoRodado=geraQuadradoRodado(quadrado,theta)
axes2=plt.subplot(122)
plt.plot(quadradoRodado[:,0],quadradoRodado[:,1],'r.')
plt.axis([-3, 3, -3, 3])
adjustedArrow(axes2,0,-3,0,3)
adjustedArrow(axes2,-3,0,3,0)
Será que existe algum vetor do plano real que não é afetado por essa transformação linear? Não, dessa forma pode-se mostrar que todos os autovetores dessa transformação são complexos.
E se essa matriz de rotação estivesse sendo aplicada a pontos do \(\Re^3\)? Por exemplo, dada por
\[R=\left[\begin{array}{ccc}
\cos(\theta) & -\sin(\theta)& 0 \\
\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0&0&1\\
\end{array}\right]\]
Nesse caso, essa rotação roda um ponto no plano \(X-Y\) e mantém a coordenada do eixo \(Z\) constante.
Será que existe algum vetor que neutraliza essa transformação linear? Claro! Qualquer vetor pertença ao eixo \(Z\). Qual o autovalor associado? 1, pois rotações não alteram tamanho de vetores.
Existem aplicações importantes de autovalores e autovetores?
Sim! Existem muitas aplicações importantes, mas uma particularmente útil e intuitiva é chamada de Análise dos Componentes Principais (veja aqui).