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Como modelos de resposta binária usualmente são estimados?

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perguntada Ago 22, 2015 em Estatística por danielcajueiro (5,501 pontos)  
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respondida Ago 22, 2015 por danielcajueiro (5,501 pontos)  

Se você ainda não sabe bem o que é um modelo de resposta binária, dê uma olhada numa explicação intuitiva aqui.

Esses modelos normalmente são estimados utilizando o estimador de Máxima Verossimilhança.

Suponha a seguinte notação. Seja \(y_i\) a \(i\)-ésima observação da variável dependente que assume valores 0 e 1 e \(x_i=[x_{i1}, x_{i2}, \cdots, x_{iK}]'\) a \(i\)-ésima observação das \(K\) variáveis independentes.

Seja \[ p(x_i)=P(y_i=1/x_i)=F(z_i) \] onde \(z_i=\beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \cdots\beta_{k}x_{ik} \) e \(0\lt F(z)\lt 1\) é uma função de distribuição acumulada, que garante que a saída desse modelo está entre 0 e 1.

Usando o fato que o \(y_i\) é uma variável aleatória de Bernoulli, a função de distribuição do \(y_i\) dado \(x_i\) é dada por

\[f(y_i/x_i) =(F(x_{i}^{\prime}\beta))^{y_i} (1-F(x_{i}^{\prime}\beta))^{1-y_i}, \;\forall y_i\in \{0,1\}.\]

Supondo que as observações são independentes podemos escrever a função de log verossimilhança que deve ser maximizada:

\[\log L(\beta)=\sum_{i=1}^{n}\log f(y_i/x_i). \]

Podemos maximizar numericamente essa função para encontrar os estimadores dos betas ou encontrar analiticamente um sistema de equações que se for resolvido numericamente achará esses estimadores.

Veja um exemplo de implementação em Python aqui. Se você ainda não sabe Python e gostaria de começar, siga por aqui.

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