Como é o operador de dimensão 2 que possui como núcleo e imagem uma reta?

Question

Obtenha a expressão de um operador \(A:\Re^2\rightarrow \Re^2\) que tenha como núcleo e como imagem a reta \(y=3x\).

Answer 1

Seja \[T(X)=AX=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} ax+by \\ cx+dy \\ \end{array}\right].\]

Queremos que o núcleo esteja na reta $y=3x$. Logo, precisamos que

\[\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\ 3x \\ \end{array}\right]=0\]

Então, concluímos que \(a=-3b\) e \(c=-3d\).

Também precisamos que a imagem esteja na reta \(y=3x\). Logo, precisamos que
\[\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} z \\ 3z \\ \end{array}\right]\]

Logo,

\[ax+by=z\]
\[cx+dy=3z\]

Multiplicando a primeira equação por 3, concluímos que \(c=3a\) e \(d=3b\).

Logo, \[A=\alpha \left[\begin{array}{cc} -1 & 1/3 \\ -3 & 1 \\ \end{array}\right]\] para todo \(\alpha\in\Re\).

Comments

Professor, nao entendi como vc chegou nas relacoes c=3a e d=3b.

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Raissa, dê uma olhada no passo adicional que inclui acima.