Seja \[T(X)=AX=\left[\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
ax+by \\
cx+dy \\
\end{array}\right].\]
Queremos que o núcleo esteja na reta $y=3x$. Logo, precisamos que
\[\left[\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x \\
3x \\
\end{array}\right]=0\]
Então, concluímos que \(a=-3b\) e \(c=-3d\).
Também precisamos que a imagem esteja na reta \(y=3x\). Logo, precisamos que
\[\left[\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
z \\
3z \\
\end{array}\right]\]
Logo,
\[ax+by=z\]
\[cx+dy=3z\]
Multiplicando a primeira equação por 3, concluímos que \(c=3a\) e \(d=3b\).
Logo, \[A=\alpha \left[\begin{array}{cc}
-1 & 1/3 \\
-3 & 1 \\
\end{array}\right]\] para todo \(\alpha\in\Re\).