Estamos buscando as matrizes que possuem traço nulo, isto é,
\(m\_{11} + m\_{22}=0.\)
Logo, todas as matrizes da forma
\[M=\left(\begin{array}{cc}
m\_{11} & m\_{12} \\
m\_{21} & -m\_{11} \\
\end{array}\right)=m\_{11}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}\right) +m\_{12} \left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}\right) + m\_{21}\left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
\end{array}\right)\]
satisfazem essa restrição.
Portanto, uma base para o núcleo da transformação linear é dada pelo conjunto de vetores
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}\right), \left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
\end{array}\right)\]