Como é o núcleo de uma transformação linear dada pelo traço?

Question

Dada a matriz
\(M=\left(\begin{array}{cc}
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22} \\
\end{array}\right)\)

e

\(tr(M) = m\_{11} + m\_{22}\)

O símbolo \(tr(M):M(2,2)\rightarrow\Re\) é lido traço de \(M\). É a imagem de \(M\) por
uma transformação linear em \(\Re\). Seja \(N\) o núcleo dessa transformação linear.
Construa uma base de \(N\).

Answer 1

Estamos buscando as matrizes que possuem traço nulo, isto é,

\(m\_{11} + m\_{22}=0.\)

Logo, todas as matrizes da forma

\[M=\left(\begin{array}{cc} m\_{11} & m\_{12} \\ m\_{21} & -m\_{11} \\ \end{array}\right)=m\_{11}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right) +m\_{12} \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right) + m\_{21}\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right)\]

satisfazem essa restrição.

Portanto, uma base para o núcleo da transformação linear é dada pelo conjunto de vetores

\[\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right), \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right)\]