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O que pode-se dizer sobre o Lema de Fatou quando a sequência de funções converge para uma função não negativa?

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perguntada Set 18, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,376 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Set 18, 2015 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Nesse caso quando \(lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\), o lema de Fatou diz que

\(\int f d\mu\le \lim_n \inf \int f_n d\mu \).

Olhe nesse exemplo que a desigualdade ainda é estrita:

Seja \(f_n:\Re\rightarrow \Re^+\), onde \(f_n(x)=1/n\) sempre que \(|x|\le n\) e \(f_n(x)=0\) em caso contrário.

Note que \(\int_\Re f_n (x) dx = 2\) e que \(lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x) =0\).

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