Essa propriedade é válida para uma matriz normal?

Question

Se \(A\) é uma matriz normal (real) de ordem \(n\) e \(v\in \Re^n\), então \(||Av||=||A'v||\)? [Uma matriz quadrada (real) é dita ser normal se \(A'A=AA'\).]

Answer 1

Sim. Note que \(||Av||^2=(Av)\cdot (Av)=v^{\prime}A^{\prime}A v=v^{\prime}AA^{\prime} v=(A^{\prime}v)\cdot (A^{\prime}v)=||A^{\prime}v||^2\)

Comments

Professor, fiquei um pouco confuso com essa resposta.  O (Av) . (Av) se refere ao produto interno dos vetores resultantes da multiplicação? Se sim, como foi possível chegar a v'A'AV? Outra coisa, não tem como habilitar Aasciimath nesse site não? rsrsr...

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Note que (Av) é um matriz coluna ou um vetor \(n\times 1\). Estamos usando a seguinte identidade discutida em sala para um vetor \(v\): \(||v||^2=v\cdot v = v^\prime v\).

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O site usa latex para escrever equacoes matemáticas. Veja a sintaxe aqui: http://prorum.com/index.php/213/como-escrever-equacoes-matematicas-usar-latex-no-prorum-com?show=213#q213