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Se uma matriz é normal, os autovetores dessa matriz são iguais aos autovetores de sua transposta?

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perguntada Set 29, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Se \(A\) é uma matriz normal (real) de ordem \(n\), então todo autovetor de
\(A\) é também autovetor \(A'\). [Uma matriz quadrada (real) é dita ser normal se
\(A'A=AA'\).]

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1 Resposta

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respondida Set 29, 2015 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Note que se \(A\) é normal, então \(A-\lambda I\) também é, pois

\((A-\lambda I)((A-\lambda I)^{\prime}=(A-\lambda I)(A^{\prime}-\lambda I)=AA^{\prime}-\lambda A - \lambda A^\prime + \lambda^2 I\).

\((A-\lambda I)^{\prime}((A-\lambda I)=(A^{\prime}-\lambda I)(A-\lambda I)=A^{\prime}A-\lambda A - \lambda A^\prime + \lambda^2 I\).

Usando essa propriedade aqui, se \(||(A-\lambda I)v||=0\), então \(||(A^\prime-\lambda I)v||=0\) implicando que \((A^\prime-\lambda I)v=0\).

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