Como calcular esse determinante?

Question

Seja

\[A=\left[\begin{array}{ccccc} a & b & c & 16\\ 1 & 0 & 0 & 5\\ 1 & 1 & 0 & e\\ 0 & 1 & 1 & f\\ \end{array}\right].\]

Sabendo que determinante de \(A\) vale 84. Quanto vale se substituirmos o 16
acima por 100?

Answer 1

Apenas faça a expansão por cofatores usando por exemplo a primeira linha.

Temos que

\(det(A)=a(-1)^2 |M_{11}| + b(-1)^3 |M_{12}|\) \( + c(-1)^4 |M_{13}| + 16(-1)^5 |M_{14}|=84\).

Dessa forma, concluimos que

\(a(-1)^2 |M_{11}| + b(-1)^3 |M_{12}| + c(-1)^4 |M_{13}|=100\)

Por outro lado, \(det(B)=a(-1)^2 |M_{11}| + b(-1)^3 |M_{12}| \) \(+ c(-1)^4 |M_{13}| + 100(-1)^5 |M_{14}|\), onde \(B\) é a matriz que troca 16 por 100.

Sabendo que \(100(-1)^5 |M_{14}|=-100\), concluímos que

\(det(B)=100-100=0\)

Comments

Professor, como podemos concluir que o resultado do det(B) = 100 se não temos mais a mesma matriz anterior? (na medida em que o 100 era resultado da soma 84+16, sendo este "16" exclusivo da matriz A). Poder-se-ia mesmo saber, logo de início, o resultado do segundo determinante?
Além disso, por que o 100(-1)^2 está ao quadrado?

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Note que a única coisa que muda é o 16 por 100. Os menores são os mesmos.

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Caro professor,

      Acredito que essa parte da resposta esteja confusa:


       Por outro lado, det(B)=a(−1)2|M11|+b(−1)3|M12| +c(−1)4|M13|+100(−1)2|M14|=100, onde B é a matriz que troca 16 por 100.


     Já que ela dá a entender que a det (B) = 0, e não apenas o último termo.

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Obrigado, corrigido!

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Professor, se o valor de |M14| é 0. A determinante das duas matrizes não deveriam ser iguais? Afinal o termo A14 quando multiplicado por 0 não faz diferença na equação

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O valor de \(|M14|\) é \(1\), não \(0\). Se o determinante fosse \(0\) seriam duas matrizes diferentes e não a matriz A e B da questão.