Funções lineares da forma funcional alteram a significância de um parâmetro regredido?

Question

Suponha que temos uma equação da forma: \[y_i = \beta_0 + \beta_1x_i + \mu\]
Onde pretendemos fazer uma regressão de \(y_i\) sobre \(x_i\) utilizando o método dos Mínimos Quadrados Ordinários.
Estabelecendo a forma funcional de \(x_i\) como \[f(x_i) = ax_i + b\]
temos a nova equação: \[y_i = \beta_0 + \beta_1 f(x_i) + \mu\] \[y_i = \gamma_0 + \gamma_1 x_i+ \mu\]
É trivial verificar que \(\gamma_0\) e \(\gamma_1\) podem ser escritos em função de \(\beta_0, \beta_1, a\) e \(b\). A significância estatística dos regressores \(\beta\) e \(\gamma\) é a mesma? É possível expressar o valor médio e a variância de \(\gamma\) em função de \(\beta\), \(a\) e \(b\)?

Answer 1

Temos: \[\gamma_1 = \beta_1 a\\ \gamma_0 = \beta_0 + \beta_1 b\]

Logo, temos para o valor esperado: \[ E(\gamma_1) = E(\beta_1 a) = a E(\beta_1)\\ E(\gamma_0) = E(\beta_0 + \beta_1 b) = E(\beta_0) + bE(\beta_1)\]
O que nos dá a variância: \[\text{var}(\gamma_1) = \text{var}(\beta_1 a) = a^2\text{var}(\beta_1)\\ \text{var}(\gamma_0) = \text{var}(\beta_0 + \beta_1 b) = \text{var}(\beta_0) + b^2\text{var}(\beta_1) + 2b\text{cov}(\beta_0, \beta_1)\]

No final, nossas estatísticas t contra uma hipótese nula são: \[t_{\gamma_1} = \frac{\beta_1 a }{\sqrt{a^2\text{var}(\beta_1)}} = \frac{\beta_1 a}{a\sqrt{\text{var}(\beta_1)}} = t_{\beta_1}\]
\[t_{\gamma_0} = \frac{\beta_0 + \beta_1 b}{\sqrt{\text{var}(\beta_0) + b^2\text{var}(\beta_1) + 2b\text{cov}(\beta_0, \beta_1)}}\]

Logo, essa forma funcional não altera a significância do parâmetro de \(x_i\), porém altera a estatística t do parâmetro de intercepto e portanto muito provavelmente sua significância, no caso de \(b \neq 0\).

Comments

Exercício legal!