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O que é o Paradoxo de St. Petersburg?

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perguntada Nov 12, 2015 em Economia por danielcajueiro (5,661 pontos)  

O nome St. Petersburg vem do fato que Daniel Bernoulli apresentou o problema nos Comentários da Academia Imperial de Ciências de São Petersburgo. É válido mencionar, entretanto, que o paradoxo foi inventado por seu irmão Nicolas Bernoulli.

Daniel Bernoulli

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1 Resposta

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respondida Nov 12, 2015 por danielcajueiro (5,661 pontos)  

O Paradoxo de St. Petersburg aparece por causa da noção de jogo justo. Um jogo é considerado justo se o valor esperado do ganho é zero. Ou seja, se um jogador participa repetidamente desse jogo, ele na média não ganha ou perde nada.

Historinha:

Pedro convida Paulo para jogar o seguinte jogo, que ele lancará repetidamente uma moeda até que apareça a primeira cara. Ele pagará a Paulo dois reais se aparecer a primeira cara no primeiro lançamento de uma moeda, quatro reais se aparecer a primeira cara no segundo lançamento da moeda, 8 reais se aparecer a primeira cara no lançamento seguinte e assim por diante.

Pergunta-se: Quanto Paulo deveria pagar a Pedro para jogar com ele?

Note que a probabilidade de sair cara no primeiro lançamento é \(1/2\). No segundo lançamento é \(1/4\) e no \(n\)-ésimo lançamento é \(1/2^n\) como prescreve a distribuição geométrica. Logo, o valor esperado desse jogo é

\[\frac{1}{2}\cdot 2 + \frac{1}{4}\cdot 4 + \frac{1}{8} \cdot 8 + \cdots = 1 + 1 + 1 \cdots = \infty\]

Você pagaria uma quantia infinita para entrar nesse jogo? A maioria das pessoas nem toparia pagar uma quantia razoavelmente alta! Daí vem o paradoxo. Se Paulo vai receber com alta probabilidade uma quantia pequena, porque ele deveria pagar uma quantia infinita?

Existem histórias interessantes relacionadas com esse paradoxo?

Sim!

St. Petersburg

Uma delas conta que um rei gostaria de recompensar um plebeu com uma boa soma de ouro. Entretanto, o plebeu mencionou que não necessitava de tal recompensa, mas aceitaria 1 grão de milho no primeiro dia do mês, 2 grãos de milho no segundo dia do mês, 4 grãos no terceiro dia do mês... É óbvio que trigésimo dia do mês o reino estava falido.

Harrelson of Indians.

Outra conta a história de um jogador de baseball (Harrelson do Indians) que trocaria o seu salário pelo seguinte prêmio: 50 centavos do dólar na primeira rebatida que ele fizesse em uma temporada, 1 dólar pela segunda rebatida, 2 dólares pela terceira rebatida... O gerente do time (Gabe Paul) rejeitou inteligentemente a proposta, já que ele rebatia em torno de 30 vezes por temporada.

A imagem será apresentada aqui.

Existe também uma apresentação desse paradoxo usada para discutir o valor de empresas que crescem mais rápido que o resto da economia. Veja aqui!

Como resolver esse paradoxo?

Existem várias tentativas interessantes (muitas delas propostas por figuras importantes de Teoria da Probabilidade e Economia) de resolver esse paradoxo e embora algumas delas tenham mais sabor que outras, que eu saiba, não existe nenhuma universalmente aceita.

Certeza moral:

Uma possível solução é aproximar o problema truncando valores muito baixos de probabilidade. Por exemplo, se supormos que \(\frac{1}{2^{25}}\approx 0\), então o valor esperado do jogo é

\[\frac{1}{2}\cdot 2 + \frac{1}{4}\cdot 4 + \cdots \frac{1}{24} \cdot 24 = 24,\]

que ainda é um valor considerado alto e a maioria das pessoas não estariam dispostas a pagar.

Limitação dos recursos

Supondo que se ocorre um valor maior que os recursos de Pedro, o máximo que Paulo irá receber é o valor de todos os recursos de Pedro, então o valor esperado do jogo é

\[\sum_{k=1}^M \frac{1}{2^k}\cdot 2^k + \sum_{k=M+1}^\infty \frac{1}{2^k}\cdot V,\]

onde \(V\), que satisfaz \(2^M\lt V\lt 2^{M+1}\), é o máximo recurso disponível.

Supondo que \(V=1000000\), temos que o valor esperado do jogo é em torno de 21.

Uma crítica a essa solução é que esse jogo pode ser visto de uma forma mais ampla, onde ao invés de Pedro pagar a aposta em dinheiro, ele poderia estar pagando em grãos de areia ou algum tipo de sensação especial.

Utilidade marginal decrescente

Quanto maior for a riqueza (dotação) de uma pessoa, menos significado tem a soma de um dado ganho a essa riqueza. Economistas sabem que essa constatação pode ser considerada se o valor esperado do jogo for feito usando (ao invés de uma função linear) uma função com utilidade marginal decrescente como, por exemplo, a função \(U(x)=log(x)\). Logo, nesse caso,

\[\frac{1}{2}\cdot log(2) + \frac{1}{4}\cdot log(4) + \frac{1}{8} \cdot log(8) + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{log 2^k}{2^k}= log(4).\]

Portanto, o jogo, supondo essa hipótese, vale 4.

Uma crítica a essa solução é que o paradoxo se mantém se o payoff original do jogo \(2^k\) no lançamento \(k\) for substituído por \(2^{2^k}\) (chamado de paradoxo de Super-Petersburg). Nesse caso, o paradoxo se mantém e a única explicação plausível seria a finitude da função \(U(x)\), que por alguns é considerada a única forma de explicar esse paradoxo.

Aversão a perda

Supondo que qualquer soma muito alta de dinheiro \(X\) não pode ser paga por Pedro (nem mesmo por um cassino) e não deve ser considerada, esse paradoxo pode ser estudado utilizando a noção de aversão a perda que se refere a tendência humana de preferir evitar perdas que conseguir ganhos.

Suponha que \(M=argmax_{m} 2^m \lt X\), que é o maior número de lançamentos que faz com que \(2^M\lt X\lt 2^{M+1}\). Seja \(P\) o valor que Paulo deve pagar a Pedro. Então, o ganho de Paulo é dado por \(2^n - P\) e a perda de Paulo é dada por \(\lambda (2^n-P)\), \(\lambda>1\) modela aversão a perda.

Portanto,

\[\sum_{k=1}^{n} \lambda \frac{(2^k - P)}{2^k} + \sum_{n+1}^{M} \frac{(2^k - P)}{2^k}=0,\]

onde a primeira parcela é uma perda, visto que o valor \(P\) é maior que \(2^n\).

Supondo que \(\lambda=2\) e \(M=30\), e fazendo um pouco de álgebra, concluímos que \(P=17.55\).

Note que nessa solução existe uma outra hipótese que diz que o jogo só pode ser jogado até um valor máximo de recursos disponíveis a Pedro.

Simulação Monte Carlo

Uma outra forma de olhar esse problema é utilizando simulações Monte Carlo. De fato, existe uma história interessante sobre esse assunto. Buffon (um interessado nesse problema) contratou uma criança para repetir várias vezes (2048 vezes) esse jogo e usou esses dados para estimar o valor do jogo. A figura abaixo apresenta o número de rodadas em que apareceu a primeira cara do jogo. O valor médio desse jogo é 16.77. Entretanto, como a distribuição do número de caras que sai num jogo é bem assimétrica, possivelmente a média não é métrica adequada para explorar esse jogo. Se você considerar a mediana ela é 4.

St. Petersburg

O código usado para gerar essa figura está aqui.

Existem boas referências sobre o Paradoxo de St. Petersburg?

Sem dúvida, existem excelentes referências e várias delas influenciaram essa resposta. Veja essas referências aqui!

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