Eu gosto muito dessa prova pela simplicidade.
Teorema: Para dois conjuntos quaisquer \(\{a_1,\cdots,a_n\}\) e \(\{b_1,\cdots,b_n\}\) de números reais, temos:
\[\left|\sum_{k=1}^{n}a_k b_k\right|\le \sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}}\]
Se definirmos \(u,v\in\mathbb{R}^n\) tal que \(u=(a_1,\cdots,a_n)\) e \(v=(b_1,\cdots,b_n)\), usarmos a definição usual do produto interno no \(\mathbb{R}^n\) e a relação entre a norma e o produto interno nesse espaço \(||\cdot||^2=\langle \cdot,\cdot\rangle\), temos que
\[\left|\langle u,v\rangle\right|\le ||u|| ||v||.\]
Prova:
\[\frac{\left|\sum_{k=1}^{n}a_k b_k\right|}{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}}}\le \sum_{k=1}^{n}\frac{|a_k|}{\sqrt{\sum_j a_{j}^{2}}}\frac{|b_k|}{\sqrt{\sum_j b_{j}^{2}}}\]\[\le \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{|a_k|}{\sum_j a_{j}^{2}}+\frac{|b_k|}{\sum_j b_{j}^{2}} \right)=1,\]
onde, para passar da segunda para a terceira equação, usou-se o fato que para todo \(x\) e \(y\), \((x-y)^2\ge 0\).
Essa prova está disponível por exemplo em C. Alsina e R. B. Nelson Charming proofs. Mathematical Association of America, 2010.