Question

Qual a prova mais legal que você conhece da desigualdade de Cauchy-Schwarz?

Answer 1

Não sei se essa é a mais legal, mas acho simples e fácil de lembrar.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz:
Sejam \(\xi_1\) e\(\xi_2\)variáveis aleatórias tais que\(E\xi^2_1\)e\(E\xi^2_2\)são finitas. Então,\(E(\xi_1 \xi_2)\)também é finita e \(E|\xi_1 \xi_2| \le (E\xi^2_1E\xi^2_2)^{1/ 2}\)

Prova:
Defina \(X = \frac{|\xi_1|}{(E\xi^2_1)^{1/2}}\) e \(Y=\frac{|\xi_2|}{(E\xi^2_2)^{1/2}}\).

\(\therefore EX^2=1\) e \(EY^2=1\)
\(\therefore 0 \leq E(X-Y)^2 = E(X^2 - 2XY + Y^2) = 1 - 2EXY +1\)
\(\therefore EXY \leq 1\)
\(\therefore \frac{E|\xi_1 \xi_2|}{(E\xi^2_1E\xi^2_2)^{1/2}} \leq 1\)
\(\therefore E|\xi_1 \xi_2| \leq (E\xi^2_1E\xi^2_2)^{1/2}\)

Como \(E\xi^2_1\) e \(E\xi^2_2\) são finitas, \(E|\xi_1 \xi_2|\) também é. O que implica que \(E(\xi_1 \xi_2)\) é finita. \(\blacksquare\)

Comments

Eu gosto dessa prova, pois já faz uma conexão com uma das principais aplicações do teorema de Cauchy-Shwarz.

Answer 2

Eu gosto muito dessa prova pela simplicidade.

Teorema: Para dois conjuntos quaisquer \(\{a_1,\cdots,a_n\}\) e \(\{b_1,\cdots,b_n\}\) de números reais, temos:

\[\left|\sum_{k=1}^{n}a_k b_k\right|\le \sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}}\]

Se definirmos \(u,v\in\mathbb{R}^n\) tal que \(u=(a_1,\cdots,a_n)\) e \(v=(b_1,\cdots,b_n)\), usarmos a definição usual do produto interno no \(\mathbb{R}^n\) e a relação entre a norma e o produto interno nesse espaço \(||\cdot||^2=\langle \cdot,\cdot\rangle\), temos que

\[\left|\langle u,v\rangle\right|\le ||u|| ||v||.\]

Prova:

\[\frac{\left|\sum_{k=1}^{n}a_k b_k\right|}{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}}}\le \sum_{k=1}^{n}\frac{|a_k|}{\sqrt{\sum_j a_{j}^{2}}}\frac{|b_k|}{\sqrt{\sum_j b_{j}^{2}}}\]\[\le \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{|a_k|}{\sum_j a_{j}^{2}}+\frac{|b_k|}{\sum_j b_{j}^{2}} \right)=1,\]

onde, para passar da segunda para a terceira equação, usou-se o fato que para todo \(x\) e \(y\), \((x-y)^2\ge 0\).

Essa prova está disponível por exemplo em C. Alsina e R. B. Nelson Charming proofs. Mathematical Association of America, 2010.

Answer 3

Uma prova interessante é utilizando otimização. Considere o problema de otimização restrita onde deseja encontrar os pontos de \(f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i} x_i y_i\) sujeita a \(\sum_i x_{i}^{2}=1\) e \(\sum_i y_{i}^{2}=1\).

É fácil mostrar, usando o método dos multiplicadores de Lagrange, que \(|\sum_i x_i y_i|\le 1\).

Defina \(x_i=\frac{a_i}{\sqrt{\sum_j a_{j}^{2}}} \) e \(y_i=\frac{b_i}{\sqrt{\sum_j b_{j}^{2}}} \). Note que \(\sum_i x_{i}^{2}=1\) e \(\sum_i y_{i}^{2}=1\).

Portanto, usando o resultado acima, \(\sum_i x_i y_i=\sum_i \frac{a_i b_i}{\sqrt{\sum_j a_{j}^{2}}\sqrt{\sum_j b_{j}^{2}}}\le 1.\)