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O polinômio \(x^4 + 1\) é irredutível nos racionais? E sobre uma extensão algébrica?

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perguntada Nov 17, 2015 em Matemática por Henrique Souza (626 pontos)  

Como mostrar que o polinômio \(x^4 + 1\) é irredutível sobre \(\mathbb{Q}\)? E se considerarmos a extensão algébrica \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\), de todos os números da forma \(x + y\sqrt{2}\) com \(x\) e \(y\) racionais?

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1 Resposta

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respondida Nov 17, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  

Para que \(x^4 + 1\) seja irredutível sobre \(\mathbb{Q}\), ele não deve possuir divisores de grau \(0 < d < 4\), logo, as possibilidades são divisores de grau 1, 2, ou 3. Uma vez que \(x^4 + 1\) não possui raízes em \(\mathbb{Q}\), este polinômio não possui divisores de grau 1, e, por consequência da identidade \(\text{grau}(P\cdot Q) = \text{grau}(P) + \text{grau}(Q)\), também não possui divisores de grau 3.
Agora, se \(x^4 + 1\) possuir divisores de grau 2, eles devem ser da forma: \[ x^4 + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)\]
Donde, ao desenvolvermos a expressão do lado direito da equação, e igualando os coeficientes, temos:
\[a = -c\\ d = b\\ b = 1\\ a^2 = 2 \]
Como \(a^2 = 2\) não possui solução em \(\mathbb{Q}\), não existem tais polinômios em \(\mathbb{Q}[X]\). Ao mudarmos para a extensão algébrica \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\), a equação \(a^2 = 2\) passa a ter soluções \(\sqrt 2\) e \(-\sqrt 2\). Logo, sobre \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\), o polinômio \(x^4 + 1\) pode ser reduzido a
\[ (x^2 + \sqrt 2 x + 1)(x^2 - \sqrt 2 x + 1)\]

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