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Qual a condição para que um polinômio sobre \(\mathbb{C}\) tenha raízes repetidas?

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perguntada Nov 17, 2015 em Matemática por Henrique Souza (626 pontos)  

Seja \(f(X)\) um polinômio com coeficientes em \(\mathbb{C}\). Qual é uma condição para que \(f(X)\) não tenha raízes repetidas?

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1 Resposta

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respondida Nov 17, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  
editado Nov 17, 2015 por Henrique Souza

Supondo, por fins de simplicidade que \(f(X)\) seja um polinômio mônico, isto é, com coeficiente de maior grau igual a 1 (essa suposição não altera o resultado, uma vez que todo polinômio pode ser transformado em um polinômio mônico preservando as raízes), escrevamos \(f(X)\) como \[(x-a_1)...(x-a_n)\]
onde \(a_1, ..., a_n \in \mathbb{C}\). Uma condição suficiente e necessária para que \(f(X)\) não tenha raízes repetidas é que o m.d.c. entre \(f(X)\) e sua derivada seja 1.
Se \(f(X)\) não possui raízes repetidas, \(a_i \neq a_j\) para todo \(i \neq j\). Temos que a derivada de \(f(X)\) é:
\[\frac{df}{dX} = -a_1(x-a_2)...(x-a_n) -a_2(x-a_1)...(x-a_n) \\ + ... -a_n(x-a_1)(x-a_2)...\\ = \sum \limits_{i = 1}^{n} -a_i(x-a_1)...(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})...(x-a_n)\]
Logo, temos que o cada fator \((x - a_i)\) não divide o termo \( -a_i(x-a_1)...(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})...(x-a_n)\). Portanto, o m.d.c. entre \(f(X)\) e sua derivada é 1, uma vez que não possuem fatores em comum.
Por outro lado, supondo que o m.d.c. seja 1, vamos supor que \(f(X)\) tenha raízes repetidas, isto é, o oposto do que queremos demonstrar. Nesse caso, \(a_i = a_j\) para algum \(i \neq j\). Logo, o fator \((x-a_i)\) é um divisor comum de todos os termos da derivada de \(f(X)\), o que é uma contradição com nossa suposição de que o m.d.c é 1. Logo, \(f(X)\) não pode ter raízes repetidas.

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