Supondo, por fins de simplicidade que \(f(X)\) seja um polinômio mônico, isto é, com coeficiente de maior grau igual a 1 (essa suposição não altera o resultado, uma vez que todo polinômio pode ser transformado em um polinômio mônico preservando as raízes), escrevamos \(f(X)\) como \[(x-a_1)...(x-a_n)\]
onde \(a_1, ..., a_n \in \mathbb{C}\). Uma condição suficiente e necessária para que \(f(X)\) não tenha raízes repetidas é que o m.d.c. entre \(f(X)\) e sua derivada seja 1.
Se \(f(X)\) não possui raízes repetidas, \(a_i \neq a_j\) para todo \(i \neq j\). Temos que a derivada de \(f(X)\) é:
\[\frac{df}{dX} = -a_1(x-a_2)...(x-a_n) -a_2(x-a_1)...(x-a_n) \\
+ ... -a_n(x-a_1)(x-a_2)...\\
= \sum \limits_{i = 1}^{n} -a_i(x-a_1)...(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})...(x-a_n)\]
Logo, temos que o cada fator \((x - a_i)\) não divide o termo \( -a_i(x-a_1)...(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})...(x-a_n)\). Portanto, o m.d.c. entre \(f(X)\) e sua derivada é 1, uma vez que não possuem fatores em comum.
Por outro lado, supondo que o m.d.c. seja 1, vamos supor que \(f(X)\) tenha raízes repetidas, isto é, o oposto do que queremos demonstrar. Nesse caso, \(a_i = a_j\) para algum \(i \neq j\). Logo, o fator \((x-a_i)\) é um divisor comum de todos os termos da derivada de \(f(X)\), o que é uma contradição com nossa suposição de que o m.d.c é 1. Logo, \(f(X)\) não pode ter raízes repetidas.