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Como encontrar as raízes primitivas em um corpo \(\mathbb{F}_p\)?

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perguntada Nov 17, 2015 em Matemática por Henrique Souza (626 pontos)  

Pegue como exemplo \(p = 41\). Como encontrar todas as raízes primitivas no corpo \(\mathbb{F}_{p}\)?

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1 Resposta

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respondida Nov 17, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  

A parte mais difícil é a primeira: achar uma raiz primitiva. Nesse caso, um programa de computador calculou para cada inteiro \(1 < k < 41\) o menor expoente \(d > 0\) tal que \(k^d \equiv 1 \pmod{41}\), até achar a menor raiz primitiva: \((6 \mod{41})\).
Uma vez que temos uma raiz primitiva, é simples achar as outras. Como há um isomorfismo entre \((\mathbb{Z}/41\mathbb{Z})^\times\) e \((\mathbb{Z}/\varphi(41)\mathbb{Z})^+\) pela função índice, temos que os geradores do primeiro grupo (as raízes primitivas) devem ser mapeados para os geradores do segundo grupo (as classes primas a \(\varphi(41)\)), uma vez que o isomorfismo preserva a estrutura das operações (\(\text{ind}_r(ab) = \text{ind}_r(a) + \text{ind}_r(b)\)).
Portanto, geramos uma tabela do valor de \(\text{ind}_6(k)\) para cada classe de congruência \((k \mod{41})\) no grupo \((\mathbb{Z}/41\mathbb{Z})^\times\), e destacamos os valores onde \(\text{mdc}(\text{ind}_6(k), \varphi(41)) = 1\). Esses 16 valores de \(k\) assinalados são as raízes primitivas módulo 41.
A imagem será apresentada aqui.
Uma vez montada essa tabela, também é fácil montar uma tabela das \(n\)-ésimas potências módulo 41. Como ocorre a transformação da operação de multiplicação na operação de adição, para calcular a \(n\)-ésima potência, basta multiplicar a tabela por \(n\) e reduzir módulo \(\varphi(41)\), e obteremos o valor de \(\text{ind}_r(k^n)\). Depois, é necessário apenas consultar a tabela original para transformar \(\text{ind}_r(k^n) \mapsto k^n \pmod{41}\)

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