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Qual o valor de \(1^n + 2^n + ... + (p-1)^n\) módulo p?

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perguntada Nov 17, 2015 em Matemática por Henrique Souza (626 pontos)  

Para cada inteiro \(n \geq 0 \), qual o valor da soma \(1^n + 2^n + ... + (p-1)^n \pmod p\) para um \(p\) primo?

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1 Resposta

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respondida Nov 17, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  

Como \(p\) é primo, sabemos que o corpo \(\mathbb{F}_p\) possui uma raiz primitiva \((r \mod p\)). Podemos então reescrever a expressão como:
\[1^n + 2^n +... (p-1)^n \equiv (r^{\text{ind}_r(1)})^n +(r^{\text{ind}_r(2)})^n + ... + (r^{\text{ind}_r(p-1)})^n\\ \equiv (r^n)^{\text{ind}_r(1)} + (r^n)^{\text{ind}_r(2)} + ... + (r^n)^{\text{ind}_r(p-1)}\]
Se \(n\) for um múltiplo de \(p-1\), temos que \(r^n \equiv 1\pmod p\), portanto:
\[(r^n)^{\text{ind}_r(1)} + (r^n)^{\text{ind}_r(2)} + ... + (r^n)^{\text{ind}_r(p-1)} \equiv 1 + 1 + ... + 1 \\ \equiv p-1 \equiv -1 \pmod p\]
Agora, se \(n\) não for um múltiplo de \(p-1\), sabemos que \(r^n - 1 \not\equiv 0 \pmod p\). Como cada um dos valores \(\text{ind}_r(1), \text{ind}_r(2), ..., \text{ind}_r(p-1)\) é \(0, 1, ..., p-2\) em alguma ordem, temos:
\[(r^n)^{\text{ind}_r(1)} + (r^n)^{\text{ind}_r(2)} + ... + (r^n)^{\text{ind}_r(p-1)} \equiv S \pmod p\\ 1 + r^n + (r^n)^2 + ... + (r^n)^{p-2} \equiv S \pmod p\\ \]
Multiplicando ambos os lados por \(r^n - 1\):
\[(r^n-1)(1 + r^n + (r^n)^2 + ... + (r^n)^{p-2}) \equiv S (r^n-1) \pmod p\\ (r^n)^{p-1} - 1 \equiv S (r^n - 1) \pmod p\\ 0 \equiv S (r^n - 1) \pmod p\]
Como \(r^n - 1 \not\equiv 0 \pmod p\) e o corpo \(\mathbb{F}_p\) não possui divisores de zero, temos que \(S \equiv 0 \pmod p\).
Logo, a expressão é congruente a \(-1\pmod p\) se \((p-1) \mid n\) ou congruente a \(0 \pmod p\) caso contrário.

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