Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Se \((m, n) = 1\), o grupo multiplicativo de congruências módulo \(mn\) é cíclico?

+2 votos
67 visitas
perguntada Nov 17, 2015 em Matemática por Henrique Souza (626 pontos)  

Se \(m\) e \(n\) são inteiros, \(m > 2, n > 2\) e \((m, n) = 1\), o grupo multiplicativo das classes de congruência primas a \(mn\) módulo \(mn\) é um grupo cíclico?

Compartilhe

1 Resposta

0 votos
respondida Nov 17, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  

Usaremos o fato de que, para cada divisor \(d\) da ordem \(n\) de um grupo cíclico, existe no máximo um subgrupo de ordem \(d\) - fato que segue da definição de um grupo cíclico.
Um subgrupo de ordem 2 é formado por dois elementos: a identidade e um elemento \(x \neq 1\), tal que \(x^2 = 1\).
Vamos supor que o nosso grupo \((\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})^\times\) é cíclico. Ele possui um e apenas um subgrupo de ordem 2 (uma vez que \(2 \mid \varphi(mn)\)), formado pelos elementos \(\{1, x\}\). Logo:
\[ x^2 \equiv 1 \pmod{mn}\]
Como \((m, n) = 1\), o teorema chinês do resto nos dá:
\[ x^2 \equiv 1 \pmod m\\ x^2 \equiv 1 \pmod n\]
Como \(x \not\equiv 1 \pmod{mn}\), temos três soluções:
\[x_0 \equiv -1 \pmod m \text{ e } x_0 \equiv -1 \pmod n\\ \text{ e } x_1 \equiv -1 \pmod m \text{ e } x_1 \equiv 1 \pmod n\\ \text{ e } x_2 \equiv 1 \pmod m \text{ e } x_2 \equiv -1 \pmod n\\ \]
Porém, como existe um e apenas um subgrupo de ordem 2, temos que \(x_0 \equiv x_1 \equiv x_2 \pmod{mn}\). Focaremos nas duas últimas equações.
Da segunda, temos:
\[x_1 = ms_1 - 1 \text{ para algum } s_1 \in \mathbb{Z}\]
E da terceira, temos:
\[x_2 = ms_2 - 1 \text{ para algum } s_2 \in \mathbb{Z}\]
Logo:
\[ms_1 - 1 \equiv ms_2 - 1 \pmod{mn}\\ m(s_1 - s_2) \equiv 2 \pmod{mn}\\ m(s_1 - s_2) = mnk + 2 \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\\ m(s_1 - s_2 -nk) = 2\]
Donde tiramos que \(m \mid 2\), o que contradiz nossa suposição de que \(m > 2\). Portanto, nossa única premissa, que o grupo \((\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})^\times\) é cíclico, é falsa.

...