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Para quais valores de \(n\) o grupo \((\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^\times\) é cíclico?

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perguntada Nov 18, 2015 em Matemática por Henrique Souza (626 pontos)  
editado Nov 18, 2015 por Henrique Souza

Denotemos por \((\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^\times\) o grupo multiplicativo das classes de congruência ímpares módulo \(2^n\). Para quais valores de \(n\) esse grupo é cíclico?

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1 Resposta

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respondida Nov 18, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  

Computando a estrutura do grupo para \(n\) até 4, observamos o seguinte:
\[n = 1 \implies (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^\times = \{1\} = \langle1\rangle\\ n = 2 \implies (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times = \{1, 3\} = \langle3\rangle\\ n = 3 \implies (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times = \{1, 3, 5, 7\}\\ n = 4 \implies (\mathbb{Z}/16\mathbb{Z})^\times = \{1,3,5,7,9,11,13,15\}\]
Onde \(\langle x \rangle\) representa o grupo gerado pelo elemento \(x\). Aparentemente para \(n \geq 3\) o grupo \((\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^\times\) não é cíclico. Também aparece um padrão no limitante superior da ordem dos elementos: quando \(n = 3\), o elemento de maior ordem possui ordem \(2 = 2^{n-2}\), e quando \(n = 4\) o elemento de maior ordem possui ordem \(4 = 2^{n-2}\). Portanto, para provar que nenhum grupo da forma \((\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^\times\) é cíclico para \(n \geq 3\), precisamos provar que \(2^{n-2}\) é um limitante superior para a ordem de seus elementos, ou seja:
\[x^{2^{n-2}} \equiv 1 \pmod{2^n}\]
Essa prova segue por indução sobre \(n\). O caso \(n = 3\) já está verificado, portanto vamos supor que a relação vale para \(n - 1\). Temos:
\[x^{2^{n-3}} \equiv 1 \pmod{2^{n-1}}\\ x^{2^{n-3}} = 2^{n-1}k + 1 \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\\ x^{2^{n-2}} = (2^{n-1}k + 1)^2 = 2^{2n -2}k^2 + 2^{n}k + 1\\ x^{2^{n-2}} \equiv 1 \pmod{2^n} \]
Assim, pelo Princípio da Indução Matemática, o grupo enunciado não é cíclico para todo \(n \geq 3\).

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