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Uma raiz primitiva módulo \(m\) também é raiz primitiva módulo divisores de \(m\)?

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perguntada Nov 18, 2015 em Matemática por Henrique Souza (626 pontos)  

Suponha que \(r\) é uma raiz primitiva módulo \(m > 1\). Para cada divisor positivo \(d\) de \(m\), \(r\) também é uma raiz primitiva módulo \(d\)?

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1 Resposta

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respondida Nov 18, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  

A resposta é sim. Utilizando o Teorema Chinês do Resto, é possível mostrar que uma raiz primitiva \(r\) módulo \(m\) também é uma raiz primitiva módulo cada divisor de \(m\). Procederemos considerando que \(m = p\cdot q\), onde \(\text{mdc}(p, q) = 1\).
Uma raiz primitiva é um elemento de um grupo tal que todos os elementos desse grupo são potências desse mesmo elemento. Outra definição equivalente é dizer que um número \(r\) é uma raiz primitiva de um grupo \(G\) se a ordem de \(r\) for igual à ordem de \(G\).
Supondo que \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\) possui uma raiz primitiva \(r\), para todo elemento \(x \in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\) existe um \(a \in \{0, 1, ..., \varphi(m) - 1\}\) tal que \(x \equiv r^a \pmod m\). Logo, o Teorema Chinês do Resto nos dá:
\[x \equiv r^a \pmod p\\ x \equiv r^a \pmod q\]
Portanto, todo elemento \(x \in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\) é uma potência de \(r\) em \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\) e \((\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times\) (o elemento \(x\) está nos dois grupos uma vez que é primo ao produto \(p\cdot q = m\)). Basta agora mostrar que todo elemento ou algum representante de sua classe de congruência em \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\) ou em \((\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times\) está em \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\).
Se \(x \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\) e \(x\) é primo a \(q\), \(x\) está em \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\). Se \(x\) não é primo a \(q\), tomemos o fato de que existem inteiros \(a^*\) e \(b^*\) tais que \(a^*p + b^*q = 1\), logo existem \(a\) e \(b\) tais que \(ap + bq = 1 - a\). Temos para o número \(x + ap\):
\[x + ap \equiv x \pmod p\\ \text{mdc}(x + ap, q) = 1\]
A segunda afirmação segue do fato de que \(x + ap = 1 - bq\). Logo, \(x + ap\) está em \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\). Logo, para qualquer divisor \(p\) de \(m\), \(r\) é uma raiz primitiva módulo \(p\).

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