Quando a equação quadrática possui solução módulo \(p\)?

Question

Considere a equação quadrática \(ax^2 + bx + c = 0\), e \(p\) um primo ímpar tal que \(\text{mdc}(a, p) = 1\). Quando essa equação possui solução módulo \(p\)?

Answer 1

Sabemos pela fórmula quadrática que \(2ax = -b\pm\sqrt{b^2 -4ac}\). Como \(a\) é primo a \(p\), sabemos que o termo \(2a\) é invertível, logo temos a congruência:
\[x \equiv (2a)^{-1}(-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}) \pmod p\]
Se \(b^2 - 4ac = 0\), então a equação possui uma única solução módulo \(p\). Se \(b^2 - 4ac \neq 0\), então temos duas possibilidades. Como estamos retirando a raiz quadrada desse termo, se \(b^2 -4ac\) não for um resíduo quadrático módulo \(p\), então a equação não possui solução. Caso contrário, a equação possuirá duas soluções: uma para cada solução de \(\Delta^2 \equiv b^2-4ac \pmod p\).