Como mostrar que se uma transformação linear é nilpotente, a matriz usada para defini-la também será?

Question

Se \(T: V \rightarrow V\), definida por \(T(x)=Ax\) é nilpotente, como provar que sua matriz \(A\) é uma matriz nilpotente?

(Ela é nilpotente de nível k se, e somente se, \(A\) é nilpotente de nível k)

Answer 1

Seja \(T(x)=Ax\).

Se \(T\) é nilpotente, \(T^k(x)=0\). Lembre que composição de transformações lineares é o mesmo que o produto de matrizes (veja a intuição aqui), isto é,

\[T^k(x)=\underbrace{T(T(\cdots T(x))}_{k \text{ vezes}}=\underbrace{A\times(A\times (\cdots Ax)}_{k \text{ vezes}}=A^kx.\]

Então, \(0=T^k(x)=A^k x\). Logo, \(A\) é niltpontente.

Por outro lado,

se \(A\) é nilpotente, \(A^k=0\). Logo, \(T^k(x)=A^kx=0\) implicando \(T^k\) é nilpotente.