Seja \(T(x)=Ax\).
Se \(T\) é nilpotente, \(T^k(x)=0\). Lembre que composição de transformações lineares é o mesmo que o produto de matrizes (veja a intuição aqui), isto é,
\[T^k(x)=\underbrace{T(T(\cdots T(x))}_{k \text{ vezes}}=\underbrace{A\times(A\times (\cdots Ax)}_{k \text{ vezes}}=A^kx.\]
Então, \(0=T^k(x)=A^k x\). Logo, \(A\) é niltpontente.
Por outro lado,
se \(A\) é nilpotente, \(A^k=0\). Logo, \(T^k(x)=A^kx=0\) implicando \(T^k\) é nilpotente.