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Qual é o teorema do ponto fixo de Banach?

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respondida Dez 5, 2015 por danielcajueiro (5,786 pontos)  

A idéia geral desse teorema é garantir que uma determinada classe de operadores em certos conjuntos que possuem certas caracteristicas interessantes possuem pontos fixos. Essa idéia permite resolver vários problemas aplicados, entre eles, uma classe importante de sistemas lineares (por exemplo, aqueles que representam cadeias de Markov), uma classe de métodos numéricos usados para encontrar soluções algébricas (por exemplo, o método de Newton) e problemas de programação dinâmica.

Como esse teorema pode ser enunciado formalmente?

Definição (Contração): Seja \((X,d)\) um espaço métrico. Então o operador \(T:X\rightarrow X\) é chamado de uma contração em \(X\) se existe \(\alpha \in [0,1)\) tal que \(d(T(x),T(y)) \le \alpha d(x,y)\) para todo \(x,y\in X\).

Teorema do Ponto Fixo de Banach: Let \((X,d)\) um espaço métrico não vazio com uma contração \(T:X\rightarrow X\). Então \(T\) admite um único ponto fixo \(x^\star\) in \(X\) (ou seja, \(T(x^\star)=x^\star\)), que pode ser encontrado a partir de um ponto arbitrário \(x_0\in X\) e de uma sequencia de iterações dada por \(x_1=Tx_0\), \(x_2=Tx_1\), \(\cdots\), \(x_{n+1}=Tx_{n}\), onde \(\lim_{n\rightarrow \infty} x_n =x^\star\).

Você pode me dar exemplos simples?

Claro! O exemplo mais simples que conheço pode ser apresentado considerando que estamos trabalhando no espaço métrico \(X=\mathbb{R}\) (o conjunto dos reais) e a contração \(T: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(T(x)=a x\), onde \(0\lt a\lt 1\).

Note que \(x^\star=0\) é um ponto fixo dessa contração. Mais precisamente,
\(T^n(x_0)=a^n x_0\rightarrow 0\).

Existe algum exemplo legal?

Existem muitas aplicações importantes. Uma delas é no cálculo do PageRank usado pelo Google. Mas eu vou focar aqui em outro exemplo que acho bem divertido. Ou seja, usar uma contração \(T\) para gerar o triângulo de Sierpinski em \(\mathbb{R}^2\).

Considere os seguintes operadores:

\[T_1(x,y)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}\right]\]
\[T_2(x,y)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c} x-1 \\ y \\ \end{array}\right]+ \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array}\right]\]
\[T_3(x,y)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c} x-1/2 \\ y-\sqrt{3}/2 \\ \end{array}\right]+ \left[\begin{array}{c} 1/2 \\ \sqrt{3}/2 \\ \end{array}\right]\]

É fácil interpretar geometricamente o papel de \(T_1\), \(T_2\) e \(T_3\). \(T_1\) contrai o ponto \((x,y)\) a metade. \(T_2\) e \(T_3\) contraem um shift do ponto original a metade e dão um pequeno shift nele.

Defina \(T(x,y)=T_1(x,y)\cup T_2(x,y) \cup T_3(x,y)\). Pode-se mostrar que \(T\) é uma contração em \(\mathbb{R}^2\). Qual é o ponto fixo desse operador? Vamos descobrir?

Iteração 1:

sierpinski  www.prorum.com

Iteração 3:

sierpinski  www.prorum.com

Iteração 5:

sierpinski  www.prorum.com

Como você pode notar esse é o Triângulo de sierpinski que é um fractal bem conhecido. O código gerado para gerar essas figuras está aqui.

Existem boas referências sobre esse teorema?

Sim, dê uma olhada em livros clássicos de análise funcional que podem ser encontrados por exemplo nessa resposta.

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