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O que é um espaço de Banach?

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respondida Dez 12, 2015 por danielcajueiro (5,501 pontos)  

Em matemática normalmente quando usamos a palavra "espaço" estamos nos referindo a um conjunto que possui certa "estrutura".

No caso específico de um espaço de Banach, um conjunto é dito ser um espaço de banach se, e somente se. ele é um espaço vetorial normado e completo.

Espaço vetorial:

Um conjunto \(V\) é dito ser um espaço vetorial se, e somente se,

\(\forall u,v\in V\) e \(\alpha \in \mathbb{R}\) temos

1) \(u+v\in V,\)

onde a operação soma \(u+v\) é definida de forma similar a operação de soma que estamos acostumados a usar no \(\mathbb{R}^n\).

2) \(\alpha u \in V\)

onde a operação produto por escalar \(\alpha u\) é definida de forma similar a operação de produto por escalar que estamos acostumados a usar no \(\mathbb{R}^n\).

Espaço vetorial normado:

Um espaço vetorial é dito normado, se ele possui uma norma. Uma norma é uma função \(||\cdot||: V\rightarrow \mathbb{R}_+\) com as seguintes propriedades:

1) \(||u||=0\) se, e somente se, \(u=0\).

2) \(\forall u \in V\), temos que \(||\alpha u||=|\alpha| ||u||\)

3) \(||u+v||\le ||u|| + ||v||\)

Espaço vetorial normado e completo:

Um espaço vetorial normado é dito ser completo se, e somente se, toda sequencia de Cauchy converge para um elemento do espaço.

Uma sequência de Cauchy \(\{u_n\}\) é uma sequência de elementos de \(V\) tal que para todo \(\epsilon>0\), existe \(N\) tal que \(\forall m,n\ge N\)

\[||u_n-u_m||\lt\epsilon\]

Ou seja, basicamente é uma sequência de elementos do espaço que cada vez os termos ficam mais próximos. Por exemplo, a sequencia \(\{1/n\}\) é uma sequência de Cauchy em \(\mathbb{R}\).

Todos os espaços vetoriais normados de dimensão finita são completos. Logo, os espaços vetoriais que você deve estar acostumado a ver (associados a suas normas), por exemplo, \(\mathbb{R}^n\), matrizes, polinômios são todos espaços de Banach.

Existem espaços de funções que NÃO são completos. Um exemplo é o espaço de funções contínuas \(C_{[a,b]}\) definidas em um intervalo \([a,b]\) com a norma \(||f||=\int_{a}^{b} |f(x)|dx\), pois existem sequências de Cauchy nesse espaço que convergem para uma função descontínua.

Mais detalhes você pode encontrar em uma dessas referências.

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