Quais as integrais mais surpreendentes?

Question

Eu sei que surpreendente é um termo bem "genérico", mas gostaria que fosse interpretado como "o cálculo dessa integral gera algum tipo de surpresa que desperta interesse imediato".

Answer 1

Uma integral particularmente interessante é

\[\int_{0}^{1} \log{x}\; dx.\]

Ela pode ser resolvida usando os métodos usuais buscando a primitiva, mas também pode ser calculada por simetria usando a figura abaixo( a curva em azul é a exponencial e a em vermelho é a logaritma):

Então, note que a integral desejada pode ser calculada como

\[\int_{0}^{1} \log{x}\; dx=-\int_{-\infty}^{0}\exp{(x)} dx=-\exp{x}|_{-\infty}^{0}=-1\]