Vamos tentar entender como funciona a lógica dessa questão.
Considere \(n=1\). Nesse caso, a matriz tem apenas 1 elemento que é 1.
Considere \(n=2\). Nesse caso, a matriz triangular é o maior número de 1s possíveis, pois se adicionarmos mais um 1, teremos duas linhas inteiras iguais a 1 que torna a matriz não singular.
Para o caso \(n=3\), Comece com a matriz triangular. Obviamente, essa matriz é não-singular:
\[\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).\]
Mas será que ela é aquela com o maior número de 1s?
Não. Note que podemos introduzir um 1 na linha 3 e coluna 1 que os vetores formados pelas linhas continuam independentes e consequentemente a matriz ainda é não singular.
Agora já conseguimos ver o cenário. O número total de 1s é \(n^2\), mas precisamos remover \((n-1)\) 1s, pois em caso contrário teremos duas linhas formadas por 1 e a matriz será singular. Logo, o número máximo total de 1s é \(n^2 - (n-1)=n^2 - n +1\).